Mam problem z jednym zadaniem z sylabusa maturalnego (zad9)
Maszyna wyciana z krążków kwadraty w ten sposób, że wykorzystuje materiał maksymalnie. Gdyby promień danego krążka zwiększono o 1, to pole wyciętego kwadratu zwiększyloby się czterokrotnie. Oblicz pole danego krążka.
Maszyna wyciana z krążków kwadraty. Oblicz pole koła
-
olazola
- Użytkownik
- Posty: 811
- Rejestracja: 21 paź 2004, o 13:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sopot
- Pomógł: 36 razy
Maszyna wyciana z krążków kwadraty. Oblicz pole koła
Zacznijmy od oznaczeń:
Niech r - promien pierwszego krazka, a - bok kwadratu o najwiekszym polu wycietego z 1 krazka
r+1 - promien drugiego krazka, b - bok kwadratu o najwiekszym polu wycietego z 2 krazka.
Wiadomo, ze pole kwadratu pierwszego jest 4 razy mniejsze niz drugiego czyli:
\(\displaystyle{ 4a^2=b^2}\)
Pozostaje uzaleznic a i b od r:
\(\displaystyle{ 2r=a\sqrt{2}}\) z czego otrzymujemy \(\displaystyle{ a=\frac{2r}{\sqrt2}}\)
Podobnie z drugim krazkiem \(\displaystyle{ b\sqrt{2}=2({r+1})}\) z czego otrzymujemy \(\displaystyle{ b=\frac{2(r+1)}{\sqrt{2}}}\)
Nastepnie podstawiamy do rownania z polami, roziwazujemy r-nie kwadratowe i otrzymujemy r=1, drugie rozwiazanie jest ujemne, wiec nie bierzemy go pod uwage, bo promien jest dlugoscia.
\(\displaystyle{ P=\pi\,j^2}\)
Niech r - promien pierwszego krazka, a - bok kwadratu o najwiekszym polu wycietego z 1 krazka
r+1 - promien drugiego krazka, b - bok kwadratu o najwiekszym polu wycietego z 2 krazka.
Wiadomo, ze pole kwadratu pierwszego jest 4 razy mniejsze niz drugiego czyli:
\(\displaystyle{ 4a^2=b^2}\)
Pozostaje uzaleznic a i b od r:
\(\displaystyle{ 2r=a\sqrt{2}}\) z czego otrzymujemy \(\displaystyle{ a=\frac{2r}{\sqrt2}}\)
Podobnie z drugim krazkiem \(\displaystyle{ b\sqrt{2}=2({r+1})}\) z czego otrzymujemy \(\displaystyle{ b=\frac{2(r+1)}{\sqrt{2}}}\)
Nastepnie podstawiamy do rownania z polami, roziwazujemy r-nie kwadratowe i otrzymujemy r=1, drugie rozwiazanie jest ujemne, wiec nie bierzemy go pod uwage, bo promien jest dlugoscia.
\(\displaystyle{ P=\pi\,j^2}\)