problem z wykazaniem przy uzyciu tw.Talesa

[serafina]

witajcie,
Mam pewien problem z zadaniem z poziomu liceum z zakresu twierdzenia Talesa.
Zadanie brzmi:
" W równolegloboku o przekątnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) (\(\displaystyle{ a\neq b}\)) wpisano romb tak,że jego boki są równoległe do przekatnych. Wykaż, że długość boku rombu wynosi \(\displaystyle{ \frac{ab}{a+b}}\)

Nie wiem jak ruszyć to zadanie. Mam nadzieję, ze uslysze od Was jakies wskazówki;)

[janusz47]

Rysunek
\(\displaystyle{ x}\) - połowa długości boku rombu
Z twierdzenia Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}} = \frac{\frac{b}{2} - x}{x}}\)

[Mortify]

Zrób rysunek.
\(\displaystyle{ x}\) - dl=ługość boku rombu
Nazwijmy wierzchołki - ABCD. Wtedy rozważamy trójkąt BCD. Przekątna \(\displaystyle{ AC = a}\), \(\displaystyle{ BD=b}\).
\(\displaystyle{ S}\) - punkt przecięcia przekątnych.
Wtedy \(\displaystyle{ |SC|=\frac{b}{2}+\frac{b-x}{2}}\)
Zatem z talesa mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{b-x}{2}}{\frac{b}{2}} = \frac{x}{a}}\)
\(\displaystyle{ ab-xa = xb}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{ab}{a+b}}\)

EDIT: tyle już napisałem, więc szkoda mi usuwać, także sory za dubel:P

[bb314]

przyjmijmy, że \(\displaystyle{ a>b}\)
wierzchołek rombu podzieli dłuższy bok równoległoboku na odcinki \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) takie, że \(\displaystyle{ q}\) ma wspólny wierzchołek z przekątną \(\displaystyle{ a}\)
bok rombu \(\displaystyle{ x}\), wtedy mamy proporcje wynikające z tw. Talesa:
w połowie równoległoboku odciętego przekątną \(\displaystyle{ a\ \ \ \ -\ \ \ \frac{x}{a}=\frac{p}{p+q}\ \ \to\ \ x=\frac{ap}{p+q}}\)
w połowie równoległoboku odciętego przekątną \(\displaystyle{ b\ \ \ \ -\ \ \ \frac{x}{b}=\frac{q}{p+q}\ \ \to\ \ x=\frac{bq}{p+q}\ \ \to\ \ \blue x=\frac{b}{\frac{p}{q}+1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ap}{p+q}=\frac{bq}{p+q}\ \ \ \to\ \ \ ap=bq\ \ \ \to\ \ \ \blue \frac{p}{q}=\frac{b}{a}}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{b}{\frac{p}{q}+1}=\frac{b}{\frac{b}{a}+1}=\frac{b}{\frac{b+a}{a}}\ \ \ \to\ \ \ \red x=\frac{ab}{a+b}}\)

[serafina]

Dziękuję za pomoc przyjaciele, jak teraz patrzę na moje notatki, to pomysł miałam dobry, tylko ugrzazlam w pewnym momencie i nie miałam pomysłu co dalej zrobić ;/