Wielokąty foremne, kąty ostre wielokątów wypukłych

[DeckTone]

Witam, potrzebuję pomocy w rozwiązaniu i uzasadnieniu tych zadań:

a) Czy istnieje dziewięciokąt wypukły, który ma cztery kąty proste? Odpowiedź uzasadnij (Wiem, że nie, ale nie wiem jak uzasadnić ;p)

b) Ile, co najwyżej, kątów ostrych może mieć dowolny wielokąt wypukły? Uzasadnij (wiem, że 3, nie wiem jak uzasadnić ;d)

[bb314]

a)
suma wszystkich kątów dziewięciokąta wynosi \(\displaystyle{ 7\cdot180^o}\)
jeśli cztery kąty miałyby być proste, czyli mieć w sumie \(\displaystyle{ 4\cdot90^o=2\cdot 180^o}\)
to na pozostałe pięć kątów przypadłoby \(\displaystyle{ 5\cdot180^o}\), czyli musiałyby być kąty \(\displaystyle{ >180^o}\), a wtedy wielokąt nie byłby już wypukły

b)
wielokąt ma \(\displaystyle{ n}\) kątów, które w sumie maja \(\displaystyle{ (n-2)\cdot180^o}\)
jeśli miałby \(\displaystyle{ m}\) kątów ostrych, to one w sumie miałyby \(\displaystyle{ <m\cdot90^o}\)
pozostałe \(\displaystyle{ n-m}\) kątów miałyby w sumie
\(\displaystyle{ S>(n-2)\cdot180^o-m\cdot90^o=n\cdot180^o-360^o-m\cdot90^o}\)
żeby wielokąt był wypukły, to te \(\displaystyle{ n-m}\) kątów musiałyby mieć w sumie mniej niż \(\displaystyle{ S<(n-m)\cdot180^o=n\cdot180^o-m\cdot180^o}\)
czyli
\(\displaystyle{ n\cdot180^o-m\cdot180^o>n\cdot180^o-360^o-m\cdot90^o\ \ \to\ \ m\cdot90^o<360^o\ \ \to\ \red m<4}\)

[DeckTone]

A jakby w przykładzie a te 5 kątów miało 180 stopni, to nie była by wypukła figura?

I prosił bym ewentualnie jeszcze o dokładniejsze wytłumaczenie przykładu b ;d

[bb314]

a)
gdyby każdy z tych 5 kątów miał 180, to byłby czworokąt, a nie dziewięciokąt
żeby to był dziewięciokąt, to każdy z tych pięciu kątów musi być mniejszy albo większy niż 180

b)
suma kątów w każdym \(\displaystyle{ n}\)-kącie wynosi \(\displaystyle{ \sum_n=(n-2)\cdot180^o\ \ \ \to\ \ \ \blue \sum_n=n\cdot180^o-360^o}\)
jeżeli jest \(\displaystyle{ m}\) kątów ostrych (każdy ma mniej niż \(\displaystyle{ 90^o}\)) to ich suma \(\displaystyle{ \blue\sum_m<m\cdot90^o}\)
suma pozostałych kątów (jest ich \(\displaystyle{ n-m}\)) wynosi
\(\displaystyle{ \sum_{n-m}=\sum_n-\sum_m>n\cdot180^o-360^o-m\cdot90^o\ \to\ \blue \sum_{n-m}>n\cdot180^o-360^o-m\cdot90^o\ \ \ \left(^{*}1\right)}\)
jeśli wielokąt ma być wypukły, to każdy jego kąt musi być mniejszy niż \(\displaystyle{ 180^o}\)
więc suma tych \(\displaystyle{ n-m}\) kątów musi być
\(\displaystyle{ \sum_{n-m}<(n-m)\cdot180^o=n\cdot180^o-m\cdot180^o\ \ \to\ \ \blue \sum_{n-m}<n\cdot180^o-m\cdot180^o\ \ \ \left(^{*}2\right)}\)

z \(\displaystyle{ \ \ \ \left(^{*}1\right)}\) i \(\displaystyle{ \left(^{*}2\right)}\) mamy \(\displaystyle{ n\cdot180^o-360^o-m\cdot90^o<\sum_{n-m}\ \ i\ \ \sum_{n-m}<n\cdot180^o-m\cdot180^o}\)
więc
\(\displaystyle{ n\cdot180^o-360^o-m\cdot90^o<n\cdot180^o-m\cdot180^o\ \ \to\ \ m\cdot90^o<360^o\ \ \to\ \ \red m<4}\)


-------------
Przestraszyłeś się tych symboli \(\displaystyle{ \sum}\) ?
Zupełnie niepotrzebnie. One nie oznaczają nic innego jak sumę kątów. Możesz sobie w ich miejsce podstawić inne znaki, np. \(\displaystyle{ S}\) albo \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).
Nie mam już większej łopaty, żeby wyjaśnienie było bardziej łopatologiczne

[DeckTone]

nie rozumiem tych przekształceń z mnożeniem i mniejsze większe ;d-- 18 gru 2012, o 23:38 --To nie mój poziom, teraz nic z tego nie rozumiem ;d 1 liceum. Chodzi mi o to, aby dokładniej to wszystko opisać jak to idzie ;d

[Olka97]

Witam. Chciałabym się zapytać, czy znak sigmy, zamiast tak :

a)
\(\displaystyle{ \sum_n=(n-2)\cdot180^o\ \ \ \to\ \ \ \blue \sum_n=n\cdot180^o-360^o}\)

nie powinien być użyty w taki sposób:
Założnie \(\displaystyle{ n \ge 3}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=3}^{n}i=(n-2)\cdot180^o\ \ \ \to\ \ \ \blue \sum_{i=3}^{n}i=n\cdot180^o-360^o}\)