Witam proszę o pomoc w poniższym zadaniu:
Prosta a jest wspólną styczną do dwóch okręgów stycznych zewnętrznie w punkcie A. Odległość punktu A do punktów styczności prostej a z okręgami wynosi 6 i 8. Wyznacz długości promieni obu okręgów.
Zauważyłam że kąt kąt przy A jest kątem prostym i nie potrafię znaleźć żadnego sposobu.
Okręgi styczne i długość ich promieni
-
dorotaaaa93
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 15 gru 2012, o 18:27
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Okręgi styczne i długość ich promieni
Promienie obu okręgów wraz z odcinkiem ich wspólnej stycznej zawartym między punktami styczności tworzą trapez prostokątny.
Słusznie zauważyłaś, że wskazany kąt przy \(\displaystyle{ A}\) jest prosty. Wobec tego na mocy twierdzenia Pitagorasa prostopadłe do podstaw ramię trapezu ma długość \(\displaystyle{ 10}\).
Niech \(\displaystyle{ x,y}\) oznacza długość promienia większego i mniejszego okręgu odpowiednio. Teraz dwie uwagi.
1) Prowadząc odcinek równoległy do ramienia prostopadłego do podstaw, wychodzący z drugiego wierzchołka krótszej podstawy tworzymy trójkąt prostokątny. W nim na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ (x-y)^2+10^2=(x+y)^2}\), tj. \(\displaystyle{ xy=25}\).
2) Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) oznacza miarę kąta ostrego trapezu. Z twierdzenia kosinusów i odpowiedniego wzoru redukcyjnego mamy wówczas \(\displaystyle{ 8^2=2x^2(1-\cos\alpha), 6^2=2y^2(1+\cos\alpha)}\). Wyznacz z jednego z równań \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) i podstaw do drugiego, rugując tę wartość. Otrzymasz równanie drugiego stopnia z niewiadomymi \(\displaystyle{ x,y}\). Wraz z równaniem z punktu 1) utworzy ono układ równań, który należy rozwiązać.
Słusznie zauważyłaś, że wskazany kąt przy \(\displaystyle{ A}\) jest prosty. Wobec tego na mocy twierdzenia Pitagorasa prostopadłe do podstaw ramię trapezu ma długość \(\displaystyle{ 10}\).
Niech \(\displaystyle{ x,y}\) oznacza długość promienia większego i mniejszego okręgu odpowiednio. Teraz dwie uwagi.
1) Prowadząc odcinek równoległy do ramienia prostopadłego do podstaw, wychodzący z drugiego wierzchołka krótszej podstawy tworzymy trójkąt prostokątny. W nim na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ (x-y)^2+10^2=(x+y)^2}\), tj. \(\displaystyle{ xy=25}\).
2) Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) oznacza miarę kąta ostrego trapezu. Z twierdzenia kosinusów i odpowiedniego wzoru redukcyjnego mamy wówczas \(\displaystyle{ 8^2=2x^2(1-\cos\alpha), 6^2=2y^2(1+\cos\alpha)}\). Wyznacz z jednego z równań \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) i podstaw do drugiego, rugując tę wartość. Otrzymasz równanie drugiego stopnia z niewiadomymi \(\displaystyle{ x,y}\). Wraz z równaniem z punktu 1) utworzy ono układ równań, który należy rozwiązać.