Trójkąt równoboczny-wykaż

[profesorq]

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 1 wpisany w okrą. WYkaż, że suma kwadratów odległości dowolnego punktu tego okręgu od wierzchołków trójkąta jest równa 2.

[wb]

x, y, z - odległości dowolnego punktu na okręgu od wierzchołków trójkąta,
Ponieważ okrąg jest opisany na trójkącie, więc kąty między odcinkami x,y oraz y,z są, jako kąty wpisane oparte na tych samych łukach co kąty wpisane utworzone przez boki trójkąta, równe po 60° (zaś kąt między x,z - 120°).

Z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ 1^2=x^2+y^2-2xycos60^0 \\ 1^2=y^2+z^2-2yzcos60^0 \\ 1^2=x^2+z^2+2xzcos60^0}\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2-xy=1 \\ y^2+z^2-yz=1 \\ x^2+z^2+xz=1}\)

Odejmując stronami pierwsze i ostatnie równanie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ y^2-z^2-xy-xz=0 \\ (y-z)(y+z)-x(y+z) \\ (y+z)(y-z-x)=0 \\ y-z-x=0 \\ y=z+x}\)

Wówczas z pierwszego równania:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=1+xy}\)
oraz z trzeciego:
\(\displaystyle{ z^2=1-x^2-xz}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1+xy+1-x^2-xz=1+x(x+z)+1-x^2-xz=2+x^2+xz-x^2-xz=2}\)