Czworokąt opisany i wpisany w koło. Wyznacz jego pole
Czworokąt opisany i wpisany w koło. Wyznacz jego pole
Jak dowieść, że jeżeli czworokąt da się opisać na kole i jeżeli da się na nim opisać koło to pole tego czworokąta wynosi \(\displaystyle{ P=\sqrt{abcd}}\), gdzie a, b, c, d to długości jego boków ??
- g
- Użytkownik
- Posty: 1552
- Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 59 razy
Czworokąt opisany i wpisany w koło. Wyznacz jego pole
- \(\displaystyle{ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\), gdzie 2p=a+b+c+d, a czworokąt da sie wpisać w okrąg. No, a jak się go da jeszcze opisać na okręgu to p=a+c=b+d.
Wystarczy podstawić.
Wystarczy podstawić.
-
- Użytkownik
- Posty: 1146
- Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 18 razy
Czworokąt opisany i wpisany w koło. Wyznacz jego pole
Gdy w czworokąt można wpisać i opisać na nim okrąg to wówczas:
\(\displaystyle{ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\)
Ale \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c+d}{2}}\)
Skad \(\displaystyle{ S=\frac{1}{4} \sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}\)
I dalej: \(\displaystyle{ a+c=b+d}\)
Wiec \(\displaystyle{ S=\frac{1}{4} \sqrt{(-a+c+(b+d))(a-c+(b+d))(d-b+(a+c))(b-d+(c+a)}=\frac{1}{4} \sqrt{2a\cdot 2b\cdot 2c\cdot 2d}=\sqrt{abcd}}\)
\(\displaystyle{ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\)
Ale \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c+d}{2}}\)
Skad \(\displaystyle{ S=\frac{1}{4} \sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}\)
I dalej: \(\displaystyle{ a+c=b+d}\)
Wiec \(\displaystyle{ S=\frac{1}{4} \sqrt{(-a+c+(b+d))(a-c+(b+d))(d-b+(a+c))(b-d+(c+a)}=\frac{1}{4} \sqrt{2a\cdot 2b\cdot 2c\cdot 2d}=\sqrt{abcd}}\)