Czworokąt opisany i wpisany w koło. Wyznacz jego pole

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
loki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 30 lis 2004, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom

Czworokąt opisany i wpisany w koło. Wyznacz jego pole

Post autor: loki »

Jak dowieść, że jeżeli czworokąt da się opisać na kole i jeżeli da się na nim opisać koło to pole tego czworokąta wynosi \(\displaystyle{ P=\sqrt{abcd}}\), gdzie a, b, c, d to długości jego boków ??
Awatar użytkownika
g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 59 razy

Czworokąt opisany i wpisany w koło. Wyznacz jego pole

Post autor: g »

- \(\displaystyle{ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\), gdzie 2p=a+b+c+d, a czworokąt da sie wpisać w okrąg. No, a jak się go da jeszcze opisać na okręgu to p=a+c=b+d.
Wystarczy podstawić.
Skrzypu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1146
Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 18 razy

Czworokąt opisany i wpisany w koło. Wyznacz jego pole

Post autor: Skrzypu »

Gdy w czworokąt można wpisać i opisać na nim okrąg to wówczas:

\(\displaystyle{ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\)

Ale \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c+d}{2}}\)

Skad \(\displaystyle{ S=\frac{1}{4} \sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}\)

I dalej: \(\displaystyle{ a+c=b+d}\)

Wiec \(\displaystyle{ S=\frac{1}{4} \sqrt{(-a+c+(b+d))(a-c+(b+d))(d-b+(a+c))(b-d+(c+a)}=\frac{1}{4} \sqrt{2a\cdot 2b\cdot 2c\cdot 2d}=\sqrt{abcd}}\)
ODPOWIEDZ