Koło opisane na trójkącie różnobocznym. Pole.

[Math_s]

Witam! Proszę o sprawdzenie, czy zadanie zostało dobrze rozwiązane i podpowiedź, jeśli da się się to zrobić inaczej?

Dany jest trójkąt o bokach \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}, 3 \sqrt{2}, 3- \sqrt{3}}\). Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie.

Moje rozwiązanie:
1.Najpierw sprawdzałam, czy może nie jest prostokątny i wyszedł mi rozwartokątny.
2. Z tw.cos:
\(\displaystyle{ (3- \sqrt{3}) ^{2} =(2 \sqrt{3}) ^{2}+(3 \sqrt{2}) ^{2}-2*(2 \sqrt{3})*(3 \sqrt{2})\cos \alpha}\)
3. \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4}}\)
4. Warunek \(\displaystyle{ \alpha \in (0;180)}\), ale ponieważ \(\displaystyle{ \cos \alpha >0}\), to \(\displaystyle{ \alpha \in (0;90)}\), czyli \(\displaystyle{ \sin \alpha >0}\)
5.Liczę sinus, odrzucam ujemny, \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{3} } }{2}}\)
6.Z tw. sin :
\(\displaystyle{ \frac{(3- \sqrt{3}) }{ \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{3} } }{2} }= 2R}\)
7. \(\displaystyle{ R=(3- \sqrt{3})( \sqrt{2- \sqrt{3}) }}\)
8. \(\displaystyle{ P= \pi R ^{2}}\)
9.\(\displaystyle{ P=2(42-24 \sqrt{3}) \pi (j ^{2})}\)
10. Jest inny sposób?
11. Czy to jest ok?

[bb314]

Nie jest OK. Mnie wychodzi promień \(\displaystyle{ =\sqrt6}\)

[Math_s]

Dzięki ))
Muszę zapytać, da się inaczej? . .

[wujomaro]

Da się. Można obliczyć pole z Herona i podstawić do wzoru:
\(\displaystyle{ R= \frac{abc}{4P}}\) no i oczywiście wzór na pole koła.
Pozdrawiam!

[Math_s]

Aha, no racja!!!
Dziękuję

[bb314]

10. Jest inny sposób?

Na pewno można to liczyć inaczej, ale Twój sposób jest wystarczająco dobry.
Pomyliłaś się tylko w rachowaniu sinusa. Powinno Ci wyjść to co mi, czyli
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{2- \sqrt{3} } }{2}}\)

wówczas wychodzi promień
\(\displaystyle{ R=\left( 3-\sqrt3\right)\cdot\left( \sqrt{2+\sqrt3}\right)=\sqrt6}\)

[Math_s]

Mam pytanie, jak Ty to wymnożyłeś, że dostałeś \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)? ? ?
Próbowałam jeszcze Heronem, ale coś też chyba z rachunkiem niezbyt.

[wujomaro]

Może pokaż obliczenia. Ale jeśli gubisz się z \(\displaystyle{ p}\), czyli połową obwodu, warto jest zastosować wzór:

\(\displaystyle{ P= \frac{ \sqrt{\left( a+b+c\right)\left( a+b-c\right)\left( a-b+c\right)\left( -a+b+c\right) } }{4}}\)
zamiast:

\(\displaystyle{ P= \sqrt{p\left( p-a\right)\left( p-b\right)\left( p-c\right) }}\)


Pozdrawiam!

[Math_s]

Tak, tak. Pierwszą część rozpisałam tak jak Ty i widać wzór skóconego mnożenia, ale w tych dwóch ostatnich nawiasach, chyba nie ma, prawda?
Mam obliczeń na pięć kartek, bo za każdym razem wychodziło inaczej. Grunt, że wiem ile ma ostatecznie wyjść Dzięki

[bb314]

Mam pytanie, jak Ty to wymnożyłeś, że dostałeś \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)? ? ?

Wymnożyłam to tak:

\(\displaystyle{ R=\left( 3-\sqrt3\right)\cdot\left( \sqrt{2+\sqrt3}\right)}\)

\(\displaystyle{ R^2=\left(\left( 3-\sqrt3\right)\cdot\left( \sqrt{2+\sqrt3}\right) \right)^2=\left( 3-\sqrt3\right)^2\cdot\left( \sqrt{2+\sqrt3}\right)^2=}\)

\(\displaystyle{ =\left( 9-6\sqrt3+3\right)\cdot\left(2+\sqrt3 \right)=6\left( 2-\sqrt3\right)\cdot\left(2+\sqrt3 \right)=6\left( 4-3\right) =6\ \ \to}\)

\(\displaystyle{ \to\ \ \blue R=\sqrt6}\)

[Math_s]

Dziękuję Wam bardzo, za pomoc. Jednakże usiłuję wciąż zrobić to Heronem i wiedząc, że mam mi wyjść pole koła \(\displaystyle{ =6 \pi}\)otrzymuję inny wynik. Mógłby ktoś rzucić okiem, co nie gra?

\(\displaystyle{ P= \frac{\sqrt{(3 \sqrt{2}+ \sqrt{3}+3)(3 \sqrt{2}+ \sqrt{3}-3)(3+ \sqrt{3}-3 \sqrt{2})(3- \sqrt{3}+3 \sqrt{2}) } }{4}}\)
czyli pole wyszło mi \(\displaystyle{ P= \frac{3}{2} \sqrt{2}}\)
wstawiłam do wzoru na pole trójkąta opisanego na okręgu, więc mam :
\(\displaystyle{ R= \frac{(3- \sqrt{3})2 \sqrt{3}3 \sqrt{2} }{4* \frac{3}{2} \sqrt{2} }}\)
z czego wychodzi \(\displaystyle{ R= 3( \sqrt{3}-1)}\), co się nie równa \(\displaystyle{ R= \sqrt{6}}\).
Pole koła wyszło \(\displaystyle{ P=18 \pi (2- \sqrt{3}) (j ^{2})}\)

Bardzo proszę, widzi ktoś błąd ? ? ?-- 8 gru 2012, o 16:17 --w tym wzorze na pole Herona widzę tylko jeden wzór skróconego, bo jest tylko jeden, prawda?

[anna_]

Pole źle policzyłaś.
Sprawdź jeszcze raz te nawiasy.

[Math_s]

Spradzałam chyba milion razy, wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \sqrt{2}}\)

[anna_]

Według mnie masz błąd w drugim i czwartym nawiasie.

[Math_s]

Moment, jak to?:

\(\displaystyle{ P= \frac{\sqrt{(3 \sqrt{2}+ \sqrt{3}+3)(3 \sqrt{2}+ \sqrt{3}-3)(3+ \sqrt{3}-3 \sqrt{2})(3- \sqrt{3}+3 \sqrt{2}) } }{4}}\) przecież w drugim nawiasie odejmuję najpierw liczbę 3, ale piszę 6, gdyż sprowadziłam do wspólnego mianownika, w czwartym nawiasie odjęłam \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), chyba nie powinno być źle?-- 8 gru 2012, o 16:36 --to jest już zapis po odjęciu, wydaje mi się, że dobrze odjęłam, ale właśnie nie wiem, gdzie jest błąd, sprawdziłam jeszcze raz 2 i4 nawias i nie widzę błędu, niestety