Długość przekątnej pięciokąta foremnego

adek · Post autor: **adek** » 15 mar 2007, o 18:53

Jak wyznaczyć długość przekątnej pięciokąta foremnego o boku a ?

ariadna · Post autor: **ariadna** » 15 mar 2007, o 18:56

Z tw cosinusów:
\(\displaystyle{ d^{2}=a^{2}+a^{2}-2a^{2}cos108^{o}}\)
\(\displaystyle{ d^{2}=2a^{2}(1-cos108^{o})}\)

adek · Post autor: **adek** » 15 mar 2007, o 19:00

a jakiś innym sposób? żeby kątów nie używać.

Sir George · Post autor: **Sir George** » 16 mar 2007, o 19:19

adek pisze:a jakiś innym sposób? żeby kątów nie używać.

A liczb zespolonych można?

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 16 mar 2007, o 20:46

Opisać okrąg, wybrać dowolne cztery wierzchołki pięciokąta (rozważyć czworokąt o tych wierzchołkach) i zastosować twierdzenie Ptolemeusza:
\(\displaystyle{ d^{2}=ad+a^{2}}\)
Rozwiązujemy powyższe równanie ze względu na niewiadomą \(\displaystyle{ d}\) i bierzemy wynik dodatni (z oczywistych względów)

adek · Post autor: **adek** » 16 mar 2007, o 23:14

Dzięki nie wiedziałem że takie twierdzenie jest

DEXiu · Post autor: **DEXiu** » 18 mar 2007, o 17:47

Tylko nie bierz tego równania za dokładną treść tego twierdzenia. Takie równanko dostaniemy po zastosowaniu t.P. dla czworokąta o bokach a,a,a,d i przekątnych d,d wpisanego w okrąg. O samym twierdzeniu łatwo sobie poszukać w internecie lub tablicach matematycznych