Takie zadanko dla chętnych:
W trójkąt równoboczny o boku 'a' wpisano koło, następnie w to koło wpisano trójkąt równoboczny i w ten trójkąt koło itp...
a) wykaż, że długości obwodów kolejnych kół tworzą ciąg geometryczny i oblicz ich sumę.
b) wykaż, że pola kolejnych kół tworzą ciąg geometryczny i oblicz ich sumę.
Powodzenia i pozdrawiam:)
_________________________
Temat przesadziłam tu zapuści korzenie
Lady Tilly
troche geometrii troche ciągów :P
troche geometrii troche ciągów :P
Ostatnio zmieniony 16 mar 2007, o 11:09 przez Boro, łącznie zmieniany 1 raz.
- Lady Tilly
- Użytkownik
- Posty: 3807
- Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: nie wiadomo
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 712 razy
troche geometrii troche ciągów :P
a)
\(\displaystyle{ b_{1},b_{2},b_{3}}\) to bok kolejnych trójkątów równobocznych
\(\displaystyle{ \frac{b_{1}\sqrt{3}}{6}=\frac{b_{2}\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}\sqrt{3}=2\sqrt{3}b_{2}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}=2b_{2}}\) więc \(\displaystyle{ b_{2}=\frac{1}{2}b_{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}b_{1}\sqrt{3}}{6}=\frac{a_{3}\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a_{1}\sqrt{3}=2a_{3}\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=4a_{3}}\) czyli \(\displaystyle{ a_{3}=\frac{1}{4}a_{1}}\)
\(\displaystyle{ a_{1},a_{2},a_{3}}\) to kolejne obwody okręgów
\(\displaystyle{ a_{1}=2{\pi}\frac{b_{1}\sqrt{3}}{6}}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=2{\pi}\frac{\frac{1}{2}b_{1}\sqrt{3}}{6}}\)
\(\displaystyle{ a_{3}=2{\pi}\frac{\frac{1}{4}b_{1}\sqrt{3}}{6}}\)
\(\displaystyle{ b_{1},b_{2},b_{3}}\) to bok kolejnych trójkątów równobocznych
\(\displaystyle{ \frac{b_{1}\sqrt{3}}{6}=\frac{b_{2}\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}\sqrt{3}=2\sqrt{3}b_{2}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}=2b_{2}}\) więc \(\displaystyle{ b_{2}=\frac{1}{2}b_{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}b_{1}\sqrt{3}}{6}=\frac{a_{3}\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a_{1}\sqrt{3}=2a_{3}\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=4a_{3}}\) czyli \(\displaystyle{ a_{3}=\frac{1}{4}a_{1}}\)
\(\displaystyle{ a_{1},a_{2},a_{3}}\) to kolejne obwody okręgów
\(\displaystyle{ a_{1}=2{\pi}\frac{b_{1}\sqrt{3}}{6}}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=2{\pi}\frac{\frac{1}{2}b_{1}\sqrt{3}}{6}}\)
\(\displaystyle{ a_{3}=2{\pi}\frac{\frac{1}{4}b_{1}\sqrt{3}}{6}}\)