troche geometrii troche ciągów :P

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Boro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 14 mar 2007, o 19:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Leszno

troche geometrii troche ciągów :P

Post autor: Boro »

Takie zadanko dla chętnych:
W trójkąt równoboczny o boku 'a' wpisano koło, następnie w to koło wpisano trójkąt równoboczny i w ten trójkąt koło itp...
a) wykaż, że długości obwodów kolejnych kół tworzą ciąg geometryczny i oblicz ich sumę.
b) wykaż, że pola kolejnych kół tworzą ciąg geometryczny i oblicz ich sumę.

Powodzenia i pozdrawiam:)

_________________________
Temat przesadziłam tu zapuści korzenie :wink:
Lady Tilly
Ostatnio zmieniony 16 mar 2007, o 11:09 przez Boro, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Lady Tilly
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

troche geometrii troche ciągów :P

Post autor: Lady Tilly »

a)
\(\displaystyle{ b_{1},b_{2},b_{3}}\) to bok kolejnych trójkątów równobocznych
\(\displaystyle{ \frac{b_{1}\sqrt{3}}{6}=\frac{b_{2}\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}\sqrt{3}=2\sqrt{3}b_{2}}\)
\(\displaystyle{ b_{1}=2b_{2}}\) więc \(\displaystyle{ b_{2}=\frac{1}{2}b_{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{2}b_{1}\sqrt{3}}{6}=\frac{a_{3}\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a_{1}\sqrt{3}=2a_{3}\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=4a_{3}}\) czyli \(\displaystyle{ a_{3}=\frac{1}{4}a_{1}}\)
\(\displaystyle{ a_{1},a_{2},a_{3}}\) to kolejne obwody okręgów
\(\displaystyle{ a_{1}=2{\pi}\frac{b_{1}\sqrt{3}}{6}}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=2{\pi}\frac{\frac{1}{2}b_{1}\sqrt{3}}{6}}\)
\(\displaystyle{ a_{3}=2{\pi}\frac{\frac{1}{4}b_{1}\sqrt{3}}{6}}\)
ODPOWIEDZ