Trapez. równoległa do podstaw przez środek przekątnych
-
malinko13
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 3 mar 2012, o 15:47
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: mazowieckie
- Podziękował: 14 razy
Trapez. równoległa do podstaw przez środek przekątnych
W trapezie o podstawach długości 6 i 10 poprowadzono prostą równoległą do podstaw, przechodzącą przez punkt przecięcia przekątnych. Prosta ta przecina dwa boki trapezu w punktach K i L. Ile wynosi długość odcinka KL?
-
777Lolek
- Użytkownik
- Posty: 1053
- Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podWarszawie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 208 razy
Trapez. równoległa do podstaw przez środek przekątnych
Daję Ci właściwie gotowca. Musisz tylko narysować trapez w odpowiedni sposób, aby zrozumieć co mam na myśli pisząc to rozwiązanie.
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ A,B,C,D}\) - wierzchołki trapezu (zaczynając od lewego dolnego, zakładając że podstawy rysujemy poziomo, idąc przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)
\(\displaystyle{ K,L}\) - wiadomo
\(\displaystyle{ P}\) - punkt przecięcia przekątnych i prostej zawierającej odcinek \(\displaystyle{ KL}\)
\(\displaystyle{ Q}\) - punkt na podstawie \(\displaystyle{ CD}\) , który z punktem \(\displaystyle{ P}\) tworzy odcinek prostopadły do wysokości trapezu
\(\displaystyle{ R}\) - taki sam jak punkt \(\displaystyle{ Q}\) , tylko na podstawie \(\displaystyle{ AB}\) .
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość trapezu
Wyrażamy pole trapezu przez pola poszczególnych jego części:
\(\displaystyle{ P_{ABCD} = P_{ABCPD} + P_{PCD} = P_{ABC} + P_{ABD} - P_{ABP} + P_{PCD}}\)
Podstawiamy wzory na pole trapezu i na pole trójkąta:
\(\displaystyle{ \frac{(10 + 6)h}{2} = \frac{10h}{2} + \frac{10h}{2} - \frac{10\cdot |PR|}{2} + \frac{6\cdot |PQ|}{2}}\)
\(\displaystyle{ 8h = 10h - 5|PR| + 5|PQ|}\)
a przecież \(\displaystyle{ |PR| + |PQ| = h \Leftrightarrow |PQ| = h - |PR|}\) , zatem
\(\displaystyle{ 8h = 10h - 5|PR| + 3(h - |PR|) \Leftrightarrow |PR| = \frac{5}{8}h}\)
a teraz dzielimy trapez na dwa trapezy:
\(\displaystyle{ P_{ABCD} = P_{ABLK} + P_{KLCD}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(10+6)h}{2} = \frac{\left(10 + |KL|\right)\cdot |PR|}{2} + \frac{(|KL| + 6)\cdot (h-|PR|)}{2}\\
8h = \frac{(10 + |KL|)\cdot \frac{5}{8}h}{2} + \frac{(|KL| + 6)\cdot \frac{3}{8}h}{2} \ \left|\cdot \frac{2}{h}}\)
\(\displaystyle{ 16 = \frac{50}{8} + \frac{5}{8}|KL| + \frac{3}{8}|KL| + \frac{18}{8}\\
|KL| = 7,5}\)
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ A,B,C,D}\) - wierzchołki trapezu (zaczynając od lewego dolnego, zakładając że podstawy rysujemy poziomo, idąc przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)
\(\displaystyle{ K,L}\) - wiadomo
\(\displaystyle{ P}\) - punkt przecięcia przekątnych i prostej zawierającej odcinek \(\displaystyle{ KL}\)
\(\displaystyle{ Q}\) - punkt na podstawie \(\displaystyle{ CD}\) , który z punktem \(\displaystyle{ P}\) tworzy odcinek prostopadły do wysokości trapezu
\(\displaystyle{ R}\) - taki sam jak punkt \(\displaystyle{ Q}\) , tylko na podstawie \(\displaystyle{ AB}\) .
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość trapezu
Wyrażamy pole trapezu przez pola poszczególnych jego części:
\(\displaystyle{ P_{ABCD} = P_{ABCPD} + P_{PCD} = P_{ABC} + P_{ABD} - P_{ABP} + P_{PCD}}\)
Podstawiamy wzory na pole trapezu i na pole trójkąta:
\(\displaystyle{ \frac{(10 + 6)h}{2} = \frac{10h}{2} + \frac{10h}{2} - \frac{10\cdot |PR|}{2} + \frac{6\cdot |PQ|}{2}}\)
\(\displaystyle{ 8h = 10h - 5|PR| + 5|PQ|}\)
a przecież \(\displaystyle{ |PR| + |PQ| = h \Leftrightarrow |PQ| = h - |PR|}\) , zatem
\(\displaystyle{ 8h = 10h - 5|PR| + 3(h - |PR|) \Leftrightarrow |PR| = \frac{5}{8}h}\)
a teraz dzielimy trapez na dwa trapezy:
\(\displaystyle{ P_{ABCD} = P_{ABLK} + P_{KLCD}}\)
\(\displaystyle{ \frac{(10+6)h}{2} = \frac{\left(10 + |KL|\right)\cdot |PR|}{2} + \frac{(|KL| + 6)\cdot (h-|PR|)}{2}\\
8h = \frac{(10 + |KL|)\cdot \frac{5}{8}h}{2} + \frac{(|KL| + 6)\cdot \frac{3}{8}h}{2} \ \left|\cdot \frac{2}{h}}\)
\(\displaystyle{ 16 = \frac{50}{8} + \frac{5}{8}|KL| + \frac{3}{8}|KL| + \frac{18}{8}\\
|KL| = 7,5}\)