W trójkąt równoboczny o boku a

[UKFF]

W trójkąt równoboczny o boku a wpisano okrąg o promieniu R. Okrąg o promieniu r jest styczny zewnętrznie do okręgu o promieniu R i styczny do dwóch boków trójkąta równobocznego. Oblicz długość promienia r.

Zrobiłem to w ten sposób:

\(\displaystyle{ R = \frac{a \sqrt{3}}{6}}\)

\(\displaystyle{ \frac{R}{ \frac{a}{2} } = \frac{r}{ \frac{a}{4} }}\)

Po wyliczeniu wychodzi: r = \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{12}}\)

Lecz w odpowiedziach jest napisane r = \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{18}}\)

Mógł by mi ktoś wskazać co zrobiłem źle?

[wujomaro]

Ponieważ odcinek \(\displaystyle{ JB}\) (rysunek) nie jest równy \(\displaystyle{ \frac{a}{4}}\)
Aby prawidłowo wyznaczyć długości odcinków skorzystaj z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ DMB}\) i \(\displaystyle{ LIB}\).
Pozdrawiam!

[UKFF]

Mógł byś mi jakoś bardziej to wytłumaczyć, ponieważ próbuje ale nie wiem w jaki sposób podobieństwo tych trójkątów ma mi pomóc?

[bb314]

\(\displaystyle{ \Delta DBF}\) ma kąt ostry \(\displaystyle{ 30^o}\), czyli \(\displaystyle{ BF=2\cdot FD}\)

\(\displaystyle{ \Delta JBH}\) jest do niego podobny, więc \(\displaystyle{ BH=2\cdot HJ\ \to\ R-r=2r\ \to\ \blue r=\frac13R}\)