trójkąt::
-
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 2 lis 2006, o 00:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z zaświatów
- Podziękował: 8 razy
trójkąt::
w trójkącie ABC dane są |BC|=a, |AC|=b. Suma długości wysokości trójkąta opuszczonych na boki o dlugościach a i b jest równa długości trzeciej wysokości trójkąta. Wykaż ze |AB|=c=ab/a+b. Oblicz cos najmniejszego kąta trójkąta ABC wiedząc, że c=1/2a
-
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
trójkąt::
\(\displaystyle{ h_a}\) - wysokość opuszczona na bok o długości a,
\(\displaystyle{ h_b}\) - wysokość opuszczona na bok o długości b,
\(\displaystyle{ h_c}\) - wysokość opuszczona na bok o długości c.
Korzystając ze wzorów na pola i z założenia o wysokościach:
\(\displaystyle{ h_c c=h_b b=h_a a \\ ft\{\begin{array}{l} (h_a +h_b)c=h_b b \\ (h_a +h_b)c=h_a a \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} h_ac +h_bc=h_b b \\ h_ac +h_bc=h_a a \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} h_ac=h_b(b-c) \\ h_bc=h_a(a-c)\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} h_a=\frac{h_b (b-c)}{c} \\ h_a=\frac{h_b c}{a-c}\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \frac{h_b (b-c)}{c}=\frac{h_b c}{a-c} \\ \frac{c}{a-c}=\frac{b-c}{c}}\)
skąd łatwo wyznaczając c:
\(\displaystyle{ c=\frac{ab}{a+b}}\)
\(\displaystyle{ h_b}\) - wysokość opuszczona na bok o długości b,
\(\displaystyle{ h_c}\) - wysokość opuszczona na bok o długości c.
Korzystając ze wzorów na pola i z założenia o wysokościach:
\(\displaystyle{ h_c c=h_b b=h_a a \\ ft\{\begin{array}{l} (h_a +h_b)c=h_b b \\ (h_a +h_b)c=h_a a \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} h_ac +h_bc=h_b b \\ h_ac +h_bc=h_a a \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} h_ac=h_b(b-c) \\ h_bc=h_a(a-c)\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} h_a=\frac{h_b (b-c)}{c} \\ h_a=\frac{h_b c}{a-c}\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \frac{h_b (b-c)}{c}=\frac{h_b c}{a-c} \\ \frac{c}{a-c}=\frac{b-c}{c}}\)
skąd łatwo wyznaczając c:
\(\displaystyle{ c=\frac{ab}{a+b}}\)