W trójkącie ABC suma długości jednego z boków i wysokości

[Flowers]

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) suma długości jednego z boków i wysokości opuszczonej na ten bok jest równa \(\displaystyle{ 12}\). Oblicz długość drugiego boku \(\displaystyle{ a}\) i długość wysokości \(\displaystyle{ h_a}\) opuszczonej na ten bok, dla których pole \(\displaystyle{ P}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest największe.

[loitzl9006]

Załóżmy, że suma długości boku \(\displaystyle{ b}\) i wysokości \(\displaystyle{ h_b}\) jest równa \(\displaystyle{ 12}\).

Możemy zatem napisać równanie:

\(\displaystyle{ b+h_b=12}\)

W zadaniach gdzie pojawia się sformułowanie "największe/najmniejsze" warto uzależniać jedne wielkości od drugich. Wyrazimy zatem \(\displaystyle{ h_b}\) w zależności od \(\displaystyle{ b}\):

\(\displaystyle{ h_b=12-b}\).

Pole tego trójkąta to

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}b \cdot h_b = \frac{1}{2}b \cdot \left( 12-b\right)}\)

Widzimy, że pole jest funkcją kwadratową, o wzorze \(\displaystyle{ P(b)=\frac{1}{2}b \cdot \left( 12-b\right)}\), jej wykres to parabola o ramionach skierowanych w dół - w wierzchołku (między miejscami zerowymi dla \(\displaystyle{ b=6}\)) przyjmuje największą wartość.

Widać, że największe pole ma trójkąt o boku \(\displaystyle{ b=6}\) i wysokości opuszczonej na ten bok \(\displaystyle{ h_b=6}\). Ale długości drugiego boku w tym trójkącie nie da się jednoznacznie wyznaczyć. Nie brakuje czegoś w treści zadania? To brzmi jakby ten trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) miał być równoramienny - tak się domyślam.

[Flowers]

Nie, to cała treść zadania.
Wszystko się zgadza, pokrywa się z odpowiedziami.
Dziękuję