Wykaż...

[Nelka]

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

[martaa]

Weźmy dowolny trójkąt prostokątny ABC (C - wierzchołek kąta prostego, AC=b i BC=a) i okrąg weń wpisany (o promieniu r) styczny do boków AB, BC, CA odpowiednio w punktach P, Q, R. Oczywiście wtedy \(\displaystyle{ QC=CR=r}\), czyli \(\displaystyle{ BP=BQ=a-r}\) oraz \(\displaystyle{ PA=PR=b-r}\), czyli \(\displaystyle{ BA=a+b-2r}\), a skoro BA to również długość średnicy okręgu opisanego (czyli 2R), to
\(\displaystyle{ 2R+2r=a+b}\) ckd.

[Plant]

Już napewno tutaj było.
a+b=2R