Średnia arytmetyczna wszystkich cięciw okręgu

[Niemrawy]

Tak jak w temacie. Ma ktoś jakiś pomysł jak to rozwiązać ?

[szw1710]

Mamy tych cięciw nieskończenie wiele. Nawet nieprzeliczalnie wiele. Wobec tego rolę średniej arytmetycznej odgrywa średnia całkowa. Średnią całkową funkcji całkowalnej \(\displaystyle{ f/tex] w przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\) jest

\(\displaystyle{ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\dd x\,.}\)

Dla \(\displaystyle{ f(x)=x}\) mamy zwykłą średnią arytmetyczną dwóch liczb. Jednak w kontekście całek i średnich właściwsze jest podejście miarowe - całkowanie względem miary.}\)

[JakimPL]

Z dosyć oczywistych przyczyn możemy ograniczyć się tylko do cięciw równoległych do wybranej prostej (dla uproszczenia obliczeń niech będą prostopadłe do którejś z osi). Umieśćmy okrąg jednostkowy w początku kartezjańskiego układu współrzędnych. Należy teraz znaleźć funkcję \(\displaystyle{ f(x)\colon[-1,1]\to[0,2]}\), która zwraca długość cięciwy prostopadłej do osi \(\displaystyle{ OX}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (x,0)}\).

Nasz okrąg spełnia równanie:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)

Stąd, \(\displaystyle{ y^2=1-x^2 \Rightarrow |y|=\sqrt{1-x^2}}\). Nietrudno zauważyć, że długość cięciwy to \(\displaystyle{ 2|y|=2\sqrt{1-x^2}}\). Średnia arytmetyczna będzie równa, zgodnie z powyższą uwagą:

\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2}\int_{-1}^1 f(x)\mbox{d}x = \frac{1}{2} \left(x \sqrt{1 - x^2} + \arcsin x\right)\Bigg|_{-1}^1=\frac{1}{2}\bigg(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\bigg)=\boxed{\frac{\pi}{2}}}\)