kąt między stycznymi do okręgu

[kieubass]

Miałem zadanie polegające na znalezieniu kąta między stycznymi do okręgu wychodzącymi z punktu \(\displaystyle{ P}\), wiedząc że dzielą one łuk tego okręgu w stosunku \(\displaystyle{ 3:5}\). Zrobiłem rysunek, wszystko pięknie:

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/1rDm/

Na podstawie tego, że łuk jest podzielony w stosunku \(\displaystyle{ 3:5}\) to wiem że kąt pełny dzielimy na \(\displaystyle{ 8}\) części więc \(\displaystyle{ \alpha = 45^{\circ}, 3 \alpha =135 ^{\circ} , 5 \alpha =225 ^{\circ}}\). Dowiedziałem się że wynik powinien wyglądać tak: \(\displaystyle{ x=45 ^{\circ}}\) ale za bardzo nie wiem dlaczego. Zauważyłem że gdy przedłużę jedną ze stycznych to mam sytuację tak jak na rysunku że kąt pełny to \(\displaystyle{ 180 ^{\circ} +x+ \beta}\) więc \(\displaystyle{ x+ \beta =180 ^{\circ}}\). Zauważyłem też że wynik taki otrzymam odejmując właśnie kąt \(\displaystyle{ 3 \alpha =135 ^{\circ}}\). Więc czy mógłby mi ktoś powiedzieć na mocy jakiej własności/prawa/twierdzenia \(\displaystyle{ \beta =3 \alpha}\)?

Dziękuję za pomoc i pozdrawiam

[loitzl9006]

Zauważ deltoid o wierzchołkach:
- w punktach styczności stycznych z okręgiem,
- w środku okręgu,
- w punkcie przecięcia stycznych do okręgu.
Wiadomo że kąt pomiędzy promieniem okręgu a styczną jest prosty. Zatem znasz miary trzech kątów w deltoidzie (dwa proste i \(\displaystyle{ 3 \alpha}\)) więc \(\displaystyle{ x}\) możesz sobie policzyć, i jak sobie policzysz \(\displaystyle{ x}\) to dojdziesz do wniosku, że \(\displaystyle{ \beta =3 \alpha}\).