Dwa okręgi wpisane w kąt prosty

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
kieubass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 9 razy

Dwa okręgi wpisane w kąt prosty

Post autor: kieubass »

W kąt prosty wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie. Oblicz promień mniejszego okręgu jeżeli promień większego jest równy 6cm.

Jak zrobić to zadanie? Bo zbytnio nie mam pomysłu... Wiem że należy poprowadzić odcinek między wierzchołkiem kąta a środkiem większego okręgu.

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/1rD6/
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Dwa okręgi wpisane w kąt prosty

Post autor: »

Wskazówka - odległość od punktu styczności okręgów do początku układu współrzędnych to \(\displaystyle{ r+r\sqrt{2}}\) (dlaczego?).

Q.
kieubass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 9 razy

Dwa okręgi wpisane w kąt prosty

Post autor: kieubass »

Zgodnie ze wskazówką mam trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\displaystyle{ 6}\) i o przeciwprostokątnej o długości \(\displaystyle{ 6+r+r \sqrt{2}}\)

Więc stosuję twierdzenie Pitagorasa:

\(\displaystyle{ 6^2+6^2=(6+ r\sqrt{2}+r)^2}\)

I tu pojawia mi się kwadrat sumy 3 składników ale chyba sobie z tym poradziłem:
\(\displaystyle{ (6+r \sqrt{2} +r)^2=([6+r \sqrt{2} ]+r)^2=(6+r \sqrt{2} )^2+2(6+r \sqrt{2} )r+r^2= \\ =(6+r \sqrt{2} )^2+(12+2r \sqrt{2} )r+r^2=(6+r \sqrt{2} )^2+(12r+2r^2 \sqrt{2} )+r^2= \\ =6^2+2 \cdot 6〖r \sqrt{2} +(r \sqrt{2} )〗^2+(12r+2r^2 \sqrt{2} )+r^2= \\ =36+12〖r \sqrt{2} +2r〗^2+12r+2r^2 \sqrt{2} +r^2=3r^2+2r^2 \sqrt{2} +12r+12r \sqrt{2} +36}\)

Aby to uprościć wyciągnąłem przed nawias:
\(\displaystyle{ 3r^2+2r^2 \sqrt{2} +12r+12r \sqrt{2} +36=r^2 (3+2 \sqrt{2} )+r(12+12 \sqrt{2} )+36}\)

Z taką postacią wróciłem do Pitagorasa i dostałem równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ r^2 (3+2 \sqrt{2} )+r(12+12 \sqrt{2} )+36}\)

Policzyłem jego deltę:
\(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac=(12+12 \sqrt{2} ) ^{2} - 4 \cdot (3+2 \sqrt{2} ) \cdot \left( -36\right) = \\ =144+288 \sqrt{2} +288 + 432 +288 \sqrt{2}=864+576 \sqrt{2}}\)

I ten wynik mnie martwi... Miało tak wyjść czy gdzieś się pomyliłem?
Proszę o pomoc i z góry dziękuję
777Lolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1053
Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podWarszawie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 208 razy

Dwa okręgi wpisane w kąt prosty

Post autor: 777Lolek »

kieubass pisze:\(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac=(12+12 \sqrt{2} ) ^{2} - 4 \cdot (3+2 \sqrt{2} ) \cdot \left( -36\right)}\)
\(\displaystyle{ c = {\red +}36}\)
kieubass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 226
Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kutno
Podziękował: 58 razy
Pomógł: 9 razy

Dwa okręgi wpisane w kąt prosty

Post autor: kieubass »

ale chwila chwila... Czemu \(\displaystyle{ c=36}\)? Poszczególne przejścia chyba zrobiłem dobrze...

Otrzymałem:
\(\displaystyle{ 6 ^{2} + 6^{2} =r^2 (3+2 \sqrt{2} )+r(12+12 \sqrt{2} )+36 \\ 36 + 36 =r^2 (3+2 \sqrt{2} )+r(12+12 \sqrt{2} )+36 \\ 36 =r^2 (3+2 \sqrt{2} )+r(12+12 \sqrt{2} ) \\ 0 =r^2 (3+2 \sqrt{2} )+r(12+12 \sqrt{2} )-36}\)
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Dwa okręgi wpisane w kąt prosty

Post autor: »

Szczerze mówiąc nie chce mi się sprawdzać rachunków, które są zupełnie zbędne:
\(\displaystyle{ 6^2+6^2=(6+ r\sqrt{2}+r)^2\\
2\cdot 6^2=(6+ r\sqrt{2}+r)^2\\
6\sqrt{2} = 6+r\sqrt{2}+r}\)


Q.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Dwa okręgi wpisane w kąt prosty

Post autor: anna_ »

Można też tak:

AU
AU
b68379632b9d9b28.png (9.58 KiB) Przejrzano 187 razy
[/url]

Z Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)

\(\displaystyle{ (6-r)^2+(6-r)^2=(6+r)^2}\)
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

Dwa okręgi wpisane w kąt prosty

Post autor: loitzl9006 »

\(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac=(12+12 \sqrt{2} ) ^{2} - 4 \cdot (3+2 \sqrt{2} ) \cdot \left( -36\right) = \\ =144+288 \sqrt{2} +288 + 432 +288 \sqrt{2}=864+576 \sqrt{2}}\)

I ten wynik mnie martwi... Miało tak wyjść czy gdzieś się pomyliłem?
Nie pomyliłeś się. Jakbyś kontynuował swoje obliczenia, to dostałbyś dwa rozwiązania z których jedno (dodatnie) jest słuszne. Otrzymany wynik mnożysz przez \(\displaystyle{ 2}\) i masz szukaną średnicę.
777Lolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1053
Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podWarszawie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 208 razy

Dwa okręgi wpisane w kąt prosty

Post autor: 777Lolek »

kieubass pisze:ale chwila chwila... Czemu \(\displaystyle{ c=36}\)? Poszczególne przejścia chyba zrobiłem dobrze...
Ano temu:
kieubass pisze: Z taką postacią wróciłem do Pitagorasa i dostałem równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ r^2 (3+2 \sqrt{2} )+r(12+12 \sqrt{2} )+36}\)
Właśnie zauważyłem, o co chodzi.. napisałeś "dostałem równanie kwadratowe" i dałeś tylko prawą stronę równania, a ja zasugerowałem się, że tam brakuje " \(\displaystyle{ =0}\) " , zapominając że to tylko przekształcenie jednej ze stron równania, a nie równanie.
ODPOWIEDZ