Zgodnie ze wskazówką mam trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(\displaystyle{ 6}\) i o przeciwprostokątnej o długości \(\displaystyle{ 6+r+r \sqrt{2}}\)
Więc stosuję twierdzenie Pitagorasa:
\(\displaystyle{ 6^2+6^2=(6+ r\sqrt{2}+r)^2}\)
I tu pojawia mi się kwadrat sumy 3 składników ale chyba sobie z tym poradziłem: \(\displaystyle{ (6+r \sqrt{2} +r)^2=([6+r \sqrt{2} ]+r)^2=(6+r \sqrt{2} )^2+2(6+r \sqrt{2} )r+r^2= \\ =(6+r \sqrt{2} )^2+(12+2r \sqrt{2} )r+r^2=(6+r \sqrt{2} )^2+(12r+2r^2 \sqrt{2} )+r^2= \\ =6^2+2 \cdot 6〖r \sqrt{2} +(r \sqrt{2} )〗^2+(12r+2r^2 \sqrt{2} )+r^2= \\ =36+12〖r \sqrt{2} +2r〗^2+12r+2r^2 \sqrt{2} +r^2=3r^2+2r^2 \sqrt{2} +12r+12r \sqrt{2} +36}\)
Aby to uprościć wyciągnąłem przed nawias: \(\displaystyle{ 3r^2+2r^2 \sqrt{2} +12r+12r \sqrt{2} +36=r^2 (3+2 \sqrt{2} )+r(12+12 \sqrt{2} )+36}\)
Z taką postacią wróciłem do Pitagorasa i dostałem równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ r^2 (3+2 \sqrt{2} )+r(12+12 \sqrt{2} )+36}\)
Szczerze mówiąc nie chce mi się sprawdzać rachunków, które są zupełnie zbędne: \(\displaystyle{ 6^2+6^2=(6+ r\sqrt{2}+r)^2\\
2\cdot 6^2=(6+ r\sqrt{2}+r)^2\\
6\sqrt{2} = 6+r\sqrt{2}+r}\)
I ten wynik mnie martwi... Miało tak wyjść czy gdzieś się pomyliłem?
Nie pomyliłeś się. Jakbyś kontynuował swoje obliczenia, to dostałbyś dwa rozwiązania z których jedno (dodatnie) jest słuszne. Otrzymany wynik mnożysz przez \(\displaystyle{ 2}\) i masz szukaną średnicę.
kieubass pisze:ale chwila chwila... Czemu \(\displaystyle{ c=36}\)? Poszczególne przejścia chyba zrobiłem dobrze...
Ano temu:
kieubass pisze:
Z taką postacią wróciłem do Pitagorasa i dostałem równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ r^2 (3+2 \sqrt{2} )+r(12+12 \sqrt{2} )+36}\)
Właśnie zauważyłem, o co chodzi.. napisałeś "dostałem równanie kwadratowe" i dałeś tylko prawą stronę równania, a ja zasugerowałem się, że tam brakuje " \(\displaystyle{ =0}\) " , zapominając że to tylko przekształcenie jednej ze stron równania, a nie równanie.