Trapez równoramienny

[ziombel]

Trapez równoramienny opisany jest na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Punkt styczności dzieli ramię w stosunku 1:2. Oblicz długość przekątnej trapezu.

[Lbubsazob]

Zrób sobie rysunek, jak zaznaczysz proste przechodzące przez punkty styczności (i środek okręgu), to figura podzieli się na 4 deltoidy. Podstawy mają długość \(\displaystyle{ a,b}\), a ramiona \(\displaystyle{ 3x, 3x}\). Czworokąt jest opisany na okręgu - czyli \(\displaystyle{ a+b=6x}\). Ramię jest podzielone na odcinki o długości \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ 2x}\), w takim razie \(\displaystyle{ a=2x}\) i \(\displaystyle{ b=4x}\). Ze wzoru na promień okręgu wpisanego w czworokąt \(\displaystyle{ r= \frac{2P}{a+b+c+d}}\) można wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\), wiedząc że \(\displaystyle{ \sqrt2=\frac{2 \cdot \frac{(2x+4x)\cdot 2\sqrt2}{2}}{2x+4x+3x+3x}}\). Potem poprowadź wysokość trapezu z jednego z końców krótszej podstawy, mamy trójkąt prostokątny, niech brakujący odcinek nazywa się \(\displaystyle{ c}\), wtedy \(\displaystyle{ \left( 2\sqrt2\right)^2+c^2=\left( 3x\right)^2}\). Później poprowadź przekątną trapezu i masz drugi trójkąt prostokątny. Wtedy znowu z Pitagorasa \(\displaystyle{ \left( 2\sqrt2\right)^2+\left( 4x-c\right) ^2=d^2}\) i \(\displaystyle{ d}\) będzie szukaną przekątną.

Możliwe, że da się szybciej...

[anna_]

Cytuję rozwiązanie znalezione w necie:

Oznacz części ramienia: a i 2a. Wtedy ramię trapezu ma długość 3a.
Z równości odcinków stycznych, krótsza podstawa jest podzielona punktami styczności na odcinki a i a (ma długość 2a), a dłuższa na odcinki 2a i 2a (ma długość 4a).
Wysokość tego trapezu to średnica okręgu wpisanego (\(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\)).
Wysokość trapezu opuszczona z końca krótszej podstawy, dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długości a i 3a.
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^2+(2\sqrt{2})^2=(3a)^2\\a^2+8=9a^2\\8a^2=8\\a^2=1\\a=1}\)

Podstawy mają długości 2 i 4.
Pole trapezu:
\(\displaystyle{ P=\frac{2+4}{2}\cdot2\sqrt{2}=6\sqrt{2}}\)

p- przekątna trapezu
\(\displaystyle{ p^2=(3a)^2+(2\sqrt{2})^2\\p^2=9+8=17\\p=\sqrt{17}}\)

[Lbubsazob]

Oczywiście, ten odcinek \(\displaystyle{ c}\), o którym wyżej pisałam, ma długość \(\displaystyle{ x}\) i nie trzeba tego liczyć z Pitagorasa. Chyba już przestaję myśleć kompletnie.

[ziombel]

Dziękuję:)

[piasek101]

Promień okręgu to pierwiastek z \(\displaystyle{ a\cdot 2a}\) (podobieństwo) - i było od razu \(\displaystyle{ a=1}\).