Trapez wpisany w okrąg, szukanie cosinusa

[peki]

Witam, mam problem z takim oto zadaniem:

"W okrąg wpisano trapez, przy czym jedna z jego podstaw jest średnicą okręgu. Stosunek sumy długości podstaw trapezu do długości jego obwodu wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Oblicz cosinus kąta rozwartego tego trapezu."

[anna_]

Nie podano czasem, że promień tego okręgu jest równy \(\displaystyle{ r}\)?

Masz może do tego odpowiedź?

[peki]

Niestety, nie posiadam odpowiedzi do tego zadania. To jest cała treść zadania, promień nie jest dany.

[anna_]

AU

dcd8b4e5dd5d1712.png (15.5 KiB) Przejrzano 107 razy

[/url]

\(\displaystyle{ \frac{2r+b}{2r+b+2c} = \frac{2}{3} \Rightarrow c=2(r-b)}\)

Z trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) mamy \(\displaystyle{ \cos\beta= \frac{2r-b}{2c} = \frac{2r-b}{2 \cdot 2(r-b)}=\frac{2r-b}{4(r-b)}}\)
Z trójkąta \(\displaystyle{ EBC}\) mamy \(\displaystyle{ \cos\beta= \frac{c}{2r} =\frac{2(r-b)}{2r}=\frac{r-b}{r}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2r-b}{4(r-b)}=\frac{r-b}{r}}\)

Stąd
\(\displaystyle{ b= \frac{(7- \sqrt{17}) r}{8}}\)
lub
\(\displaystyle{ b= \frac{(7+ \sqrt{17}) r}{8}}\)

\(\displaystyle{ \cos\alpha=-\cos{(180^o-\alpha)}=-\cos \beta=-\frac{r-b}{r}=-1+ \frac{b}{r}}\)