ŚKM Okrąg i prostokąt

[amadeuszi]

Dany jest okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\) i taki prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\),
że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) należą do tego okręgu, a odcinek \(\displaystyle{ CD}\) jest do niego styczny.

a.)Wyznacz długości boków tego prostokąta, jeżeli jego obwód wynosi 6r.

b.)Znajdź największą wartość \(\displaystyle{ k}\), dla której zadanie ma rozwiązanie,
jeżeli obwód prostokąta wynosi \(\displaystyle{ kr}\)

[777Lolek]

rysujesz to co masz dane w treści zadania.

a) prowadzisz trzy odcinki od środka okręgu: do punktu styczności boku \(\displaystyle{ CD}\) z okręgiem, do punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) . Zauważ, że wszystkie te trzy odcinki są długości \(\displaystyle{ r}\) .
Niech \(\displaystyle{ x}\) - odległość punktu \(\displaystyle{ O}\) od boku \(\displaystyle{ AB}\) (a więc de facto \(\displaystyle{ x = |BC| - r \Leftrightarrow r = |BC| - x}\) ). Pitagoras: \(\displaystyle{ x^2 + (\frac{|AB|}{2})^2 = r^2 \Leftrightarrow x^2 = r^2 - \frac{a^2}{4}}\) .

Wiemy z treści zadania, że \(\displaystyle{ 2|AB| + 2|BC| = 6r \Leftrightarrow |AB| + |BC| = 3r}\) . Wiemy też, że \(\displaystyle{ r = |BC| - x}\) . Dostajemy więc układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} r = b - \sqrt{r^2 - \frac{|AB|^2}{4}}\\ 3r = |AB|+|BC| \end{cases}}\)

zatem

\(\displaystyle{ \begin{cases} |AB| = \frac{2}{3}|BC|\\ |AB| + |BC| = 3r\end{cases} \vee \begin{cases}|AB| = 2|BC|\\ |AB| + |BC| = 3r \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} |AB| = \frac{6}{5}r\\ |BC| = \frac{9}{5}r\end{cases} \vee \begin{cases}|AB| = 2r\\ |BC| = r\end{cases}}\)

podpunkt b) analogicznie, tylko \(\displaystyle{ |AB| + |BC| = \frac{k}{2}r}\) . w pewnym momencie gdzieś się powinno przewrócić jakieś równanie kwadratowe z tym \(\displaystyle{ k}\), czy coś co pozwoli na znalezienie go.

[amadeuszi]

Nie potrafię rozwiązać tego układu równań. Jak go rozwiązywałeś?-- 12 paź 2012, o 17:03 --Dobra juz umiem

[amadeuszi]

Podstawiłem
\(\displaystyle{ \frac{k}{2}=t}\)

\(\displaystyle{ x^{2} = r^{2} - \frac{a^{2}}{4}}\)
\(\displaystyle{ r=b-x}\)

\(\displaystyle{ a+b=tr}\)

no i liczyłem :
\(\displaystyle{ \left( t^{2}-2t\right)r^{2}+2\left( 1-t\right)ra+\frac{5}{4}a^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=\left( -t^{2}+2t+4\right) a^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left\langle 1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5}\right \rangle}\) czyli dla \(\displaystyle{ k \in \left\langle 2-2\sqrt{5},2+2\sqrt{5} \right\rangle}\)
co dalej?

[777Lolek]

no stąd wynika że \(\displaystyle{ k_{max} = 2 + 2\sqrt{5}}\) .
W razie wątpliwości.. mi po liczeniu od zera wyszło tak samo.