Dany jest okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\) i taki prostokąt \(\displaystyle{ ABCD}\),
że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) należą do tego okręgu, a odcinek \(\displaystyle{ CD}\) jest do niego styczny.
a.)Wyznacz długości boków tego prostokąta, jeżeli jego obwód wynosi 6r.
b.)Znajdź największą wartość \(\displaystyle{ k}\), dla której zadanie ma rozwiązanie,
jeżeli obwód prostokąta wynosi \(\displaystyle{ kr}\)
ŚKM Okrąg i prostokąt
-
- Użytkownik
- Posty: 1053
- Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podWarszawie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 208 razy
ŚKM Okrąg i prostokąt
rysujesz to co masz dane w treści zadania.
a) prowadzisz trzy odcinki od środka okręgu: do punktu styczności boku \(\displaystyle{ CD}\) z okręgiem, do punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) . Zauważ, że wszystkie te trzy odcinki są długości \(\displaystyle{ r}\) .
Niech \(\displaystyle{ x}\) - odległość punktu \(\displaystyle{ O}\) od boku \(\displaystyle{ AB}\) (a więc de facto \(\displaystyle{ x = |BC| - r \Leftrightarrow r = |BC| - x}\) ). Pitagoras: \(\displaystyle{ x^2 + (\frac{|AB|}{2})^2 = r^2 \Leftrightarrow x^2 = r^2 - \frac{a^2}{4}}\) .
Wiemy z treści zadania, że \(\displaystyle{ 2|AB| + 2|BC| = 6r \Leftrightarrow |AB| + |BC| = 3r}\) . Wiemy też, że \(\displaystyle{ r = |BC| - x}\) . Dostajemy więc układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} r = b - \sqrt{r^2 - \frac{|AB|^2}{4}}\\ 3r = |AB|+|BC| \end{cases}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \begin{cases} |AB| = \frac{2}{3}|BC|\\ |AB| + |BC| = 3r\end{cases} \vee \begin{cases}|AB| = 2|BC|\\ |AB| + |BC| = 3r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} |AB| = \frac{6}{5}r\\ |BC| = \frac{9}{5}r\end{cases} \vee \begin{cases}|AB| = 2r\\ |BC| = r\end{cases}}\)
podpunkt b) analogicznie, tylko \(\displaystyle{ |AB| + |BC| = \frac{k}{2}r}\) . w pewnym momencie gdzieś się powinno przewrócić jakieś równanie kwadratowe z tym \(\displaystyle{ k}\), czy coś co pozwoli na znalezienie go.
a) prowadzisz trzy odcinki od środka okręgu: do punktu styczności boku \(\displaystyle{ CD}\) z okręgiem, do punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) . Zauważ, że wszystkie te trzy odcinki są długości \(\displaystyle{ r}\) .
Niech \(\displaystyle{ x}\) - odległość punktu \(\displaystyle{ O}\) od boku \(\displaystyle{ AB}\) (a więc de facto \(\displaystyle{ x = |BC| - r \Leftrightarrow r = |BC| - x}\) ). Pitagoras: \(\displaystyle{ x^2 + (\frac{|AB|}{2})^2 = r^2 \Leftrightarrow x^2 = r^2 - \frac{a^2}{4}}\) .
Wiemy z treści zadania, że \(\displaystyle{ 2|AB| + 2|BC| = 6r \Leftrightarrow |AB| + |BC| = 3r}\) . Wiemy też, że \(\displaystyle{ r = |BC| - x}\) . Dostajemy więc układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} r = b - \sqrt{r^2 - \frac{|AB|^2}{4}}\\ 3r = |AB|+|BC| \end{cases}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \begin{cases} |AB| = \frac{2}{3}|BC|\\ |AB| + |BC| = 3r\end{cases} \vee \begin{cases}|AB| = 2|BC|\\ |AB| + |BC| = 3r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} |AB| = \frac{6}{5}r\\ |BC| = \frac{9}{5}r\end{cases} \vee \begin{cases}|AB| = 2r\\ |BC| = r\end{cases}}\)
podpunkt b) analogicznie, tylko \(\displaystyle{ |AB| + |BC| = \frac{k}{2}r}\) . w pewnym momencie gdzieś się powinno przewrócić jakieś równanie kwadratowe z tym \(\displaystyle{ k}\), czy coś co pozwoli na znalezienie go.
-
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 29 lip 2012, o 13:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice/Czeladź
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 2 razy
ŚKM Okrąg i prostokąt
Podstawiłem
\(\displaystyle{ \frac{k}{2}=t}\)
\(\displaystyle{ x^{2} = r^{2} - \frac{a^{2}}{4}}\)
\(\displaystyle{ r=b-x}\)
\(\displaystyle{ a+b=tr}\)
no i liczyłem :
\(\displaystyle{ \left( t^{2}-2t\right)r^{2}+2\left( 1-t\right)ra+\frac{5}{4}a^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=\left( -t^{2}+2t+4\right) a^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left\langle 1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5}\right \rangle}\) czyli dla \(\displaystyle{ k \in \left\langle 2-2\sqrt{5},2+2\sqrt{5} \right\rangle}\)
co dalej?
\(\displaystyle{ \frac{k}{2}=t}\)
\(\displaystyle{ x^{2} = r^{2} - \frac{a^{2}}{4}}\)
\(\displaystyle{ r=b-x}\)
\(\displaystyle{ a+b=tr}\)
no i liczyłem :
\(\displaystyle{ \left( t^{2}-2t\right)r^{2}+2\left( 1-t\right)ra+\frac{5}{4}a^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=\left( -t^{2}+2t+4\right) a^{2}}\)
\(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left\langle 1-\sqrt{5}, 1+\sqrt{5}\right \rangle}\) czyli dla \(\displaystyle{ k \in \left\langle 2-2\sqrt{5},2+2\sqrt{5} \right\rangle}\)
co dalej?
-
- Użytkownik
- Posty: 1053
- Rejestracja: 20 wrz 2012, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podWarszawie
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 208 razy
ŚKM Okrąg i prostokąt
no stąd wynika że \(\displaystyle{ k_{max} = 2 + 2\sqrt{5}}\) .
W razie wątpliwości.. mi po liczeniu od zera wyszło tak samo.
W razie wątpliwości.. mi po liczeniu od zera wyszło tak samo.