Czworokąty, równe pola

[amadeuszi]

Wykaż, że dwa czworokąty wypukłe, których środki boków pokrywają się, mają równe pola.
Nawet nie umiem tego narysować

[octahedron]

\(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) są środkami odpowiednio \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BC}\), więc \(\displaystyle{ EF\parallel AC}\) i trójkąt \(\displaystyle{ BEF}\) jest podobny do \(\displaystyle{ ABC}\) w skali \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), czyli:
\(\displaystyle{ S_{BEF}=\frac{1}{4}S_{ABC}}\)

analogicznie:

\(\displaystyle{ S_{CGF}=\frac{1}{4}S_{CDB}\\
S_{DHG}=\frac{1}{4}S_{DAC}\\
S_{AEH}=\frac{1}{4}S_{ABD}}\)

zatem:

\(\displaystyle{ S_{EFGH}=S_{ABCD}-\left(S_{BEF}+S_{CGF}+S_{DHG}+S_{AEH} \right)=S_{ABCD}-\frac{1}{4}\left(S_{ABC}+S_{CDB}+S_{DAC}+S_{ABD} \right)=\\=S_{ABCD}-\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{1}{2}S_{ABCD} \Rightarrow S_{ABCD}=2S_{EFGH}}\)

Jeśli więc dwa czworokąty mają wspólne środki boków \(\displaystyle{ E,F,G,H}\), to ich pola są równe.

[Sherlock]

Zauważ, że czworokąt który powstaje po połączeniu środków boków jest wspólny dla obu czworokątów wyjściowych. Z powyższych wyliczeń wiemy, że ma on pole dwa razy mniejsze od pola czworokątów wyjściowych.