Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty

[Djego]

Witam. Oto treść i rozwiązanie zadania:

Pole trapezu jest równe S , a stosunek długości jego podstaw wynosi k . Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Rozwiązanie:

Zacznijmy od rysunku i załóżmy, że AB : BC = k .



Jedną z najważniejszych własności trapezu, która jest notorycznie wykorzystywana w zadaniach, jest podobieństwo trójkątów ABS i DSC . W dodatku, skala podobieństwa to dokładnie stosunek długości podstaw. Informacja ta oznacza w szczególności, że stosunki pól
\(\displaystyle{ \frac{s_{1} }{s_{3} } = \frac{s_{1} }{s_{4} } = \frac{s_{3} }{s_{2} } = \frac{s_{4} }{s_{2} }}\)

są równe k . Aby to zobaczyć, popatrzmy na trójkąty BSA i SDA . Mają one wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka A , a stosunek długości podstaw to BS : SD , czyli dokładnie skala podobieństwa trójkątów ABS i CDS . Podobnie uzasadniamy pozostałe równości. Morał z tego jest taki, że wszystkie pola możemy wyliczyć w zależności od jednego z nich, np. od \(\displaystyle{ s_{2}}\). Mamy:
\(\displaystyle{ s_{3} = s_{4} = k s_{2}}\)
\(\displaystyle{ s_{1} = k s_{3} = k^{2} s_{2}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ s= s_{1} + s_{2} + s_{3} + s_{4} = k^{2} s_{2} + k s_{2} + k s_{2} + s_{2} =(k + 1)^{2} s_{2}}\)
\(\displaystyle{ s_{2} = \frac{s}{(k + 1)^{2}}}\)


Otoz nauczyciel zadał mi na pracę domową abym uzasadnił:
\(\displaystyle{ \frac{s_{1} }{s_{3} } = \frac{s_{1} }{s_{4} } = \frac{s_{3} }{s_{2} } = \frac{s_{4} }{s_{2} }}\)
Głównie chodzi mi o znak = na środku i dlaczego to wszystko równa się k? w żaden sposób mi to nie wychodzi. Proszę o pomoc.

[bb314]

Ponieważ \(\displaystyle{ \Delta ABS\ \ i\ \ \Delta CDS}\) są podobne, więc mamy

\(\displaystyle{ \frac{AS}{CS}=\frac{BS}{DS}=\frac{AB}{CD}=k}\)

\(\displaystyle{ \Delta ABC}\) jest podzielony na dwa - \(\displaystyle{ \Delta ABS\ \ i\ \ \Delta BCS}\)
oba te trójkąty mają tę samą wysokość, jeśli za podstawy przyjmiemy boki \(\displaystyle{ AS\ \ i\ \ CS}\), więc
pola ich powierzchni \(\displaystyle{ S_1=\frac12\cdot h\cdot AS\ \ \ \ \ S_4=\frac12\cdot h\cdot CS}\) stąd
\(\displaystyle{ \frac{S_1}{S_4}=\frac{\frac12\cdot h\cdot AS}{\frac12\cdot h\cdot CS}=\frac{AS}{CS}=k}\)

podobnie wykażesz pozostałe stosunki pól