Pole czworokąta i długości jego przekątnych.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie: w czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) dane są długości boków: \(\displaystyle{ \left| AB\right| = 24}\), \(\displaystyle{ \left| CD\right|=15}\), \(\displaystyle{ \left| AD\right|=7}\). Ponadto kąty \(\displaystyle{ DAB}\) oraz \(\displaystyle{ BCD}\) są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Jak powinien wyglądać rysunek do tego zadania? Bo na moje oko to niesymetryczny deltoid tylko tu pasuje. Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

[mat_61]

Wskazówka:

Podziel ten czworokąt na dwa trójkąty prostokątne za pomocą przekątnej \(\displaystyle{ BD}\)

Bez problemu obliczysz z tw. Pitagorasa kolejno długości odcinków \(\displaystyle{ |BD|, \ |CB|}\) oraz pola powierzchni.

[dawid.barracuda]

Przyznam szczerze, że ja to policzyłem wcześniej. Wyszło tak:
\(\displaystyle{ \left| BD\right|=25}\)
\(\displaystyle{ P=234}\)
Tylko potem przyjrzałem się rysunkowi i zobaczyłem, że kąty które leżą naprzeciw siebie są proste. Więc zgubiło mnie to z tropu i pomyślałem, że w takim przypadku jest to albo prostokąt (a nie jest, bo są różne długości boków) albo deltoid. Jak powinien wyglądać rysunek? Czy to będzie "krzywy" deltoid?

[mat_61]

Obliczenia są OK.

Ten czworokąt, to po prostu czworokąt "dowolny".
Narysuj dwa trójkąty prostokątne o bokach \(\displaystyle{ 15,20,25}\) oraz \(\displaystyle{ 7,24,25}\) w ten sposób, że bok o długości 25 mają wspólny

[dawid.barracuda]

Czyli druga przekątna będzie zawarta od jednego do drugiego kąta prostego?

[mat_61]

Tak.

[dawid.barracuda]

A czy mogę stwierdzić, że przekątne przecinają się pod kątem prostym?

[mat_61]

Nie.

[dawid.barracuda]

Też tak myślę, dlatego nie bardzo wiem jak dalej to ruszyć.-- 8 paź 2012, o 21:41 --A nie, zaraz, mogę użyć wzoru na pole powierzchni gdzie używam przekątnych, co nie?

[wujomaro]

Jedną przekątną obliczymy z Pitagorasa, tak samo jak ostatni bok. Pole czworokąta to suma pól tych dwóch trójkątów: \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ BCD}\). Jeśli chodzi o ostatnią przekątną to można zabawawić się z funkcjami trygonometrycznymi.
Pozdrawiam!
Edit:

A nie, zaraz, mogę użyć wzoru na pole powierzchni gdzie używam przekątnych, co nie?

A ten wzór to: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}d_{1} d_{2} \sin \phi}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) to kąt ostry między przekątnymi.
Pozdrawiam!

[777Lolek]

Witam. Mam takie zadanie: w czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) dane są długości boków: \(\displaystyle{ \left| AB\right| = 24}\), \(\displaystyle{ \left| CD\right|=15}\), \(\displaystyle{ \left| AD\right|=7}\). Ponadto kąty \(\displaystyle{ DAB}\) oraz \(\displaystyle{ BCD}\) są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Jak powinien wyglądać rysunek do tego zadania? Bo na moje oko to niesymetryczny deltoid tylko tu pasuje. Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

Ja bym to zrobił tak...
Rysujesz przekątne, od razu możesz obliczyć \(\displaystyle{ |BD|}\) i \(\displaystyle{ |BC|}\) . Skoro jest to czworokąt, to suma jego kątów wynosi \(\displaystyle{ 360^o}\) , z czego \(\displaystyle{ \angle{BAD}+\angle{BCD} = 180^o}\) , zatem \(\displaystyle{ \angle{ABC} + \angle{ADC} = 360^o - 180^o = 180^o}\) , zatem można skorzystać z tw. cosinusów:

\(\displaystyle{ |AC|^2 = 20^2 + 24^2 -2\cdot 20\cdot 24\cdot cos(\angle{ABC})}\)

Tak samo można zrobić z trójkatem \(\displaystyle{ ACD}\) tylko z kątem \(\displaystyle{ \angle{ADC} = 180^o - \angle{ABC}}\)

Dostajesz 2 równania, 2 niewiadome.