Okręgi zawarte w okręgu

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
lucymk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 paź 2012, o 23:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec

Okręgi zawarte w okręgu

Post autor: lucymk »

Mam problem
muszę znaleźć wzór na obliczenie ile okręgów o średnicy 17 mm można zmieścić w okręgu o średnicy 160 mm. Właściwie potrzebuję obliczeń dla dowolnego okręgu - temat dotyczy maksymalnej ilości małych okręgów jakie można zmieścić w innym dużym okręgu - graficznie jestem w stanie to zrobić, ale potrzebuję sposób matematycznego rozwiązania tego problemu - proszę o podpowiedź.
Mam kilka pomysłów i wiem że tych okręgów jest około 63 - wyliczyłem to graficznie rysując okręgi -

proszę o jakąś podpowiedź
Jacek_Karwatka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 351
Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 94 razy

Okręgi zawarte w okręgu

Post autor: Jacek_Karwatka »

Generalnie nie ma jednej prostej odpowiedzi. Zadanie optymalnego rozmieszczenia figur w innej figurze należny do najtrudniejszych zadań matematyki / informatyki. Dla okręgów najefektywniejsze ułożenie na płaszczyźnie przypomina strukturę plastra miodu. Efektywne pole powierzchni jaki zajmuje jedno koło to \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3}r ^{2}}\). Jeśli małe koła są dużo mniejsze od okręgu to optymalny układ okręgów ma zbliżoną strukturę jak na powierzchni. Liczba kół o promieniu \(\displaystyle{ r}\) jaki pomieści duże koło o promieniu \(\displaystyle{ R}\) jest dana \(\displaystyle{ n \approx \frac{\pi R ^{2}}{2 \sqrt{3}r ^{2}}}\)
lucymk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 paź 2012, o 23:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec

Okręgi zawarte w okręgu

Post autor: lucymk »

Nie do końca jest to prawda
wynik z podanego wzoru zbliżony jest do ok n=80 co dość znacznie odbiega od rzeczywistości, gdyż okręgów o średnicy 17 w okręgu o średnicy 160 mieści się dokładnie 67
policzyłem to w Excelu i graficznie
Jeżeli narysuję okrąg o promieniu równym 80 minus promień małego okręgu (8,5) to mam okrąg o promieniu 71,5 Obwód takiego okręgu wynosi 449,27 na takim obwodzie jestem w stanie umieścić 26 okręgów,
następny okrąg zmniejszam o 17( średnica małego okręgu) i rysuję okrąg o promieniu 54,35 obwód 342,43 na takim okręgu zmieszczę 20 małych okręgów, kolejny okrąg ma promień 37,5, obwód 235,61 na takim okręgu zmieszczę 13 okręgów , następny okrąg ma promień 20,5 obwód 128,8 na takim okręgu zmieszczę 7 małych okręgów - pozostała powierzchnia zmieści tylko jeden okrąg
Razem jest to 67 okręgów ( 26 + 20 + 13 + 7 + 1 )

Graficznie i w Excelu to jest do policzenia - ale ja potrzebuję matematyczny wzór na wyliczenie liczby okręgów " n"

może macie jakiś pomysł
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Okręgi zawarte w okręgu

Post autor: norwimaj »

lucymk, dlaczego uważasz że takie rozwiązanie jest optymalne?
Longines
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 11 cze 2009, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 4 razy

Okręgi zawarte w okręgu

Post autor: Longines »

Cóż Jacek_Karwatka podał wzór przybliżony. O ile odbiega wynik od prawidłowego, to już inna sprawa.
lucymk napisał, że w danym okręgu mieści się 67 okręgów - i to jest prawda.
Mnie udało się zmieścić 69 okręgów. Może komuś uda się więcej.
lucymk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 paź 2012, o 23:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec

Okręgi zawarte w okręgu

Post autor: lucymk »

Jakim cudem Longines umieściłeś tam 69 okręgów - Excelowsko wychodzi 67 - to zadanie nie jest wymysłem teoretycznym, ale ciekawi mnie czy istnieje jakiś jednolity sposób obliczenia ilości tych nieszczęsnych okręgów - przecież musi być jakiś ogólny wzór. Zdradzę iż zadanie wynikło z konieczności policzenia ile światłowodów o średnicy 17 mm (wraz z ze ścianką ) można upchnąć do rury o średnicy wewnętrznej 160 mm - nie mniej jak ktoś mi podsunie rurę o średnicy 180 mm to znowu będę musiał bawić się excelem i cyrklem - co do mojego wyniku - to na razie było to rysowanie okręgów zgodnie z poprzednim postem - jest to optymalny wynik (67) nijak nie wychodzi inaczej - ... może uda się komuś podać jakiś inny sposób na te okręgi, przecież to nie może być nie-wykonalne
ODPOWIEDZ