Obwód rombu

[Piotrek172]

W równoległoboku o obwodzie 40 cm przekątne są dwusiecznymi kątów, a ich długości mają się do siebie jak 3:4. Oblicz długość tych przekątnych.

Witam! Takie zadanie jak wyżej podałem. Obliczyłem do momentu x=2cm z twierdzenia pitagorasa. I przekątne mają się tak jak 3:4 to napisałem 3x2cm = 6cm i 4x2cm = 8cm, ale jednak jest źle bo ma być 6x 2cm = 12cm i 8x2cm = 8cm, i nie wiem dlaczego? Objaśni mi to ktoś?

[silicium2002]

A co to jest ten twój "x"?

[AloneAngel]

Skoro przekątne mają się do siebie w stosunku 3:4, to jedna przekątna ma długość \(\displaystyle{ 3x}\) a druga \(\displaystyle{ 4x}\). Wiemy, że przecinają się one w połowie, a więc z pitagorasa mamy

\(\displaystyle{ (2x)^{2} + \left( \frac{3}{2}x \right) ^{2} = 10^{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) to niewiadoma, która razem ze swoim współczynnikiem wyraża długość przekątnej.

\(\displaystyle{ (2x)^{2} + \left( \frac{3}{2}x \right)^{2} = 10^{2} \\
\\
4x^{2} + \frac{9}{4} x^{2} = 100 \\
\\
\frac{25}{4} x^{2} = 100 / : \frac{25}{4}\\
\\
x^{2} = 100 \cdot \frac{4}{25}\\
\\
x^{2} = 16\\
\\
x = 4 \vee x = -4}\)

Skoro jest to długość, to musi mieć wartość dodatnia. A więc \(\displaystyle{ x = 4}\)

No i tak skoro \(\displaystyle{ 2x}\) to połowa przekątnej, to cała przekątna ma \(\displaystyle{ 4x = 4 \cdot 4 = 16}\). Skoro \(\displaystyle{ \frac{3}{2}x}\) to połowa drugiej przekątnej, to druga przekątna ma długość \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \cdot 2 x = 3x = 3 \cdot 4 = 12}\)

[wujomaro]

Znaczy się tak. Ja bym to zrobił w następujący sposób.
Przedkątne oznaczył długościami:
\(\displaystyle{ d_{1}=6x \\ d_{2}=8x}\)
Jak słusznie zauważyłeś, dzięki temu:

W równoległoboku o obwodzie 40 cm przekątne są dwusiecznymi kątów

wiemy, że chodzi o romb.

Zrób rysunek i otrzymasz równanie:
\(\displaystyle{ (3x)^{2}+(4x)^{2}=10^{2}}\)
Znajdź \(\displaystyle{ x}\) i podstaw do wcześniej ustalonego wzoru na \(\displaystyle{ d_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ d_{2}}\).

Pozdrawiam!

[Piotrek172]

Acha teraz juz wiem

PS : jeszcze jedno

Z kawałka materiału w kształcie trapezu prostokątnego o podstawach długości 1,2m i 0,4m oraz wysokości 1,5m wycięto chorągiewkę w kształcie trójkąta równoramiennego którego podstawą jest dłuższe ramie trapezu a jeden z wierzchołków należy do krótszego ramienia trapezu

a) Wyznacz długości odcinków na jakie ten wierzchołek podzielił krótsze ramie trapezu
b) Oblicz długośc boków chorągiewki

I tu pytanie. Jak może wierzchołek tego trójkąta należeć do krótszego boku. Przecież wtedy to nie będzie trójkąt równoramienny. Jak to zadanie obliczyć

[wujomaro]

tu pytanie. Jak może wierzchołek tego trójkąta należeć do krótszego boku. Przecież wtedy to nie będzie trójkąt równoramienny.

Może. Zrób odpowiedni rysunek zgodny z treścią zadania.
Pozdrawiam!

[AloneAngel]

AU

39760476024057315930.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 121 razy

Rozwiązujemy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 40^{2} + (150-x)^{2} = y^{2} \\ 120^{2} + x^{2} = y^{2} \end{cases}}\)

Podczas odejmowania stronami \(\displaystyle{ y^{2}}\) nam zniknie; \(\displaystyle{ x^{2}}\) po drodze też się zredukuje i zostanie nam sam x, czyli długość tego odcinka.

[wujomaro]

Korzystając z rysunku Samotnego Anioła:
Wiemy, że \(\displaystyle{ |CE|=|DE|}\), gdyż są to ramiona trójkąta równoramiennego.
Odcinek \(\displaystyle{ EB}\) oznaczmy jako \(\displaystyle{ x}\), a \(\displaystyle{ AE}\) jako \(\displaystyle{ 1,5-x}\).
Skoro \(\displaystyle{ CE}\) i \(\displaystyle{ DE}\) są równe, to:
\(\displaystyle{ x^{2}+(1,2)^{2}=(1,5-x)^{2}+(0,4)^{2}}\)
Wyznaczymy w ten sposób \(\displaystyle{ x}\), a potem już chyba łatwo.
Pozdrawiam!

[Piotrek172]

Wyszło mi :
\(\displaystyle{ 1,44x^{2} = 2,25 -1,6x^{2}}\)
\(\displaystyle{ 3,04x^{2} = 2,25}\)

i jakaś lipna liczba mi wychodzi

[wujomaro]

i jakaś lipna liczba mi wychodzi

Bo masz błąd w obliczeniach.
Wychodzi:
\(\displaystyle{ x^{2}+(1,2)^{2}=(1,5-x)^{2}+(0,4)^{2} \\ x^{2}+1,44=2,25-3x+x^{2}+0,16}\)
Teraz to oblicz. \(\displaystyle{ x^{2}}\) można skrócić od razu.
Pozdrawiam!

[Piotrek172]

Aha wzór skróconego mnożenia

Jeszcze jedno szybkie pytanie. Jestem w 2LO, na profilu Mat-inf. W przyszłości planuje studia inżynierskie politechnika/agh. Chciałbym się dowiedzieć jak sobie wy radzicie z tą geometrią??? Jakieś dodatkowe lekcje?? Inne podręczniki itp??