Dłuogości boków trapezu, przekątna, wpisany okrąg

banka · Post autor: **banka** » 15 wrz 2012, o 20:29

Przekątna trapezu równoramiennego ma dłg \(\displaystyle{ 4\sqrt{7}}\) a jego obwód jest równy \(\displaystyle{ 16 cm}\), Oblicz długość boków trapezu, jeżeli wiadomo, że w ten trapez można wpisać okrąg.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 15 wrz 2012, o 20:30

Jaki jest warunek tego, że w czworokąt możemy wpisać okrąg?
Pozdrawiam!

banka · Post autor: **banka** » 15 wrz 2012, o 20:32

Tak, wiem \(\displaystyle{ a +c= b + d}\), ale nie wiem jak wykorzystać fakt z tą przekątną...

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 15 wrz 2012, o 20:38

A co możemy powiedzieć o bokach?

banka · Post autor: **banka** » 15 wrz 2012, o 21:28

że te dwa takie same mają \(\displaystyle{ 4}\)... ale to nic nam nie daje...

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 15 wrz 2012, o 21:39

Wiemy, że ramię ma długość \(\displaystyle{ 4}\) (a jest to trapez równoramienny) i że przekątna ma długość \(\displaystyle{ 4 \sqrt{7}}\), a suma długości podstaw jest równa \(\displaystyle{ 8}\).
Zrób sobie rysunek.
Pozdrawiam!

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 15 wrz 2012, o 21:44

Ja bym ten trapez rozciął wzdłuż przekątnej i otrzymane trójkąty skleił wzdłuż ramienia trapezu tak, aby powstał trójkąt równoramienny o ramieniu \(\displaystyle{ 4\sqrt7}\) i podstawie \(\displaystyle{ 8\;\mbox{cm}}\). Łatwo można w tym trójkącie policzyć wysokość, która jest jednocześnie wysokością trapezu.

Czy na pewno jedna długość jest podana w centymetrach a druga bez jednostek? To trochę dziwne.

banka · Post autor: **banka** » 15 wrz 2012, o 22:02

norwimaj pisze: Czy na pewno jedna długość jest podana w centymetrach a druga bez jednostek? To trochę dziwne.

Tam oczywiście też powinno być "cm".

Spróbowałam "przeciąć" ten trapez, wtedy owszem ramieniem jest \(\displaystyle{ 4\sqrt7}\) ale podstawa to jakby to ta dłuższa podstawa trapezu + jedno ramie.. tak mi wyszło...

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 15 wrz 2012, o 22:06

norwimaj znakomicie podpowiedział.
Powstanie taki oto trójkąt(dwa zielone trójkąty):
... zcity.jpg/
\(\displaystyle{ |AB|=8}\), a \(\displaystyle{ |AP|=|BP|=4}\), z kolei \(\displaystyle{ |AS|=|BS|=4 \sqrt{7}}\)
PS Miałem trochę inny, trudniejszy pomysł na rozwiązanie, ale tam byłoby za dużo liczenia.
Pozdrawiam!

janka · Post autor: **janka** » 15 wrz 2012, o 22:27

Liczę wysokości w trapezie i w powstałym trójkącie i otrzymuję sprzeczności.Wysokość wychodzi większa od ramienia trapezu.Może się mylę ,a może dane są błędne?

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 15 wrz 2012, o 22:36

Wysokością trapezu jest \(\displaystyle{ PS}\). Więc:
\(\displaystyle{ 4^{2}+|PS|^{2}=(4\sqrt{7})^{2}}\)
Wychodzi na to, że wysokość ma \(\displaystyle{ \sqrt{96}=4 \sqrt{6}}\).
Pozdrawiam!

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 15 wrz 2012, o 22:37

W dowolnym wielokącie każda przekątna ma długość mniejszą lub równą połowie obwodu. Zatem taki trapez nie istnieje. Zresztą moim sposobem wychodzą długości podstaw \(\displaystyle{ 4(1\pm i\sqrt6)}\), a gdyby taki trapez istniał, toby wyszły rzeczywiste.

wujomaro · Post autor: **wujomaro** » 15 wrz 2012, o 22:39

No tak. Jak mówiła janka, wysokość trapezu jest większa niż ramię, więc gdybyśmy utworzyli trójkąt prostokątny, wystawiając wysokość przy jednym z wierzchołków, wyszłoby na to, że przyprostokątna jest większa niż przeciwprostokątna, co nie może mieć miejsca.
Pozdrawiam!

janka · Post autor: **janka** » 15 wrz 2012, o 22:44

... 8548d.html

b+x=4

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4 ^{2}+h ^{2}=112 \\ x ^{2}+h ^{2} =16 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ h= \sqrt{96}}\)

\(\displaystyle{ x ^{2} =-80}\)

mamy sprzeczność.