W trójkącie dwusieczna przecina bok oblicz odcinki

[MathMaster]

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) bok \(\displaystyle{ |AB|=12}\), bok \(\displaystyle{ |BC|=10}\), bok \(\displaystyle{ |CA|=6}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACB}\) przecina bok \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Oblicz długość odcinków \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BD}\).

Wiem że najpierw z funkcji trygonometrycznych i długości boków muszę wyliczyć jakoś kąty, ale chyba nie znam jakiegoś wzoru moglibyście mi pomóc.

[justynian]

\(\displaystyle{ \frac{|BC|}{|BD|} = \frac{|CA|}{|AD|}}\)

[TPB]

Z tw. cosinusów wyznaczysz cosinus i sinus kąta \(\displaystyle{ ACB}\). Oznaczę ten kąt przez \(\displaystyle{ \alpha}\).
Niech \(\displaystyle{ P}\) oznacza pole powierzchni trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}\left| BC\right| \cdot \left| CA\right|\sin \alpha}\).
Podzielimy teraz ten trójkąt na dwa: \(\displaystyle{ ADC}\) i \(\displaystyle{ BDC}\), a ich pola oznaczmy przez \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ D}\). Wtedy \(\displaystyle{ P=S+D}\). Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie długością tej dwusiecznej.
W takim razie
\(\displaystyle{ S = \frac{1}{2}\left| AC\right|x\sin \frac{ \alpha }{2}}\).
Podobnie liczysz pole drugiego trójkąta i wyznaczasz z równania \(\displaystyle{ P=S+D}\) długość dwusiecznej. Potem stosując dwukrotnie tw. cosinusów otrzymasz długości odcinków \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BD}\).

Można też zrobić to zadanie tak jak justynian, który skorzystał z tzw. tw. o dwusiecznej kata wewnętrznego w trójkącie, ale nie wiem czy możesz go zastosować . Jest to ciekawe i często przydatne twierdzenie, ale mało osób je zna i stosuje, a jest świetnym wytrychem i skraca często obliczenia i rozumowania w dowodach. Możesz o tym twierdzeniu poczytać np. na Wikipedii lub w dobrych tablicach matematycznych.

[MathMaster]

Jak z tw. cosinusów mam wyznaczyć sinus ?

[TPB]

Jak znasz cosinus, to sinus też.

[wujomaro]

Znając cosinus obliczysz sinus z jedynki trygonometrycznej, czyli:
\(\displaystyle{ \sin^{2}x+\cos^{2}x=1}\)

[MathMaster]

i skąd wziąłeś ten wzór na pole?

[TPB]

- najczęściej używane wzory służące do obliczana pól trójkątów.
Na pewno masz ten wzór w tablicach, podręczniku czy gdziekolwiek indziej. Jest on popularny; zapamiętaj go.

[justynian]

Powtarzam że użycie tw. o dwusiecznej daje rozwiązanie w 2 linijkach, bez trygonometrii