Czworokąt wpisany w okrąg - dowód

[aniu_ta]

Odcinek łączący wierzchołki \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) czworokąta \(\displaystyle{ ABCD}\) wpisanego w okrąg przechodzi przez środek okręgu. Udowodnij, że:

\(\displaystyle{ \frac{AB+AD}{CD+CB}=1}\) lub \(\displaystyle{ \frac{AB+AD}{CD+CB}=\frac{CD-CB}{AB-AD}}\)

A teraz poprawcie mnie proszę, jeśli się gdzieś mylę:

Ogólnie chodzi o to, że mam pokazać, że w niektórych przypadkach jest spełnione peirwsze równanie tezy, a w pozostałych drugie (lub dla niektórych czworokątów oba są prawdziwe), tak?

Oczywiście mam zrobiony rysunek. Z pierwszego zdania wynika, że przekątna \(\displaystyle{ AC}\) dzieli czworokąt na dwa trójkąty prostokątne o wspólnej przeciwprostokątnej, zatem układając tw. Pitagorasa do obu trójkątów, przyrównując je i przekształcając je odpowiednio można dojść do postaci:

\(\displaystyle{ (AB-AD)(AB+AD)=(CD-BC)(CD+BC)}\)

Teraz, jeśli tylko: \(\displaystyle{ AB \neq AD}\) można to równanie w prosty sposób doprowadzić do drugiego równania tezy.

Ale przecież jeśli \(\displaystyle{ AB=AD}\) to \(\displaystyle{ BC=CD}\), czyli ten czworokąt jest deltoidem, a po prawej stronie drugiego równania tezy będzie \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\)

Dla deltoidu nie będzie również spełnione pierwsze równanie z tezy, gdyż pierwsze równanie jest spełnione (wg mnie) tylko dla prostokąta i kwadratu. Dla prostokąta drugie równanie tezy również jest prawdziwe, więc pierwsze autorzy książki dali tylko dla przypadku, gdy \(\displaystyle{ ABCD}\) jest kwadratem, tak?

A co jeśli jest deltoidem? Autorzy (po raz kolejny) zrobili błąd? Czy zapomnieli po prostu napisać, że \(\displaystyle{ AB \neq AD}\) ? Czy sama powinnam to uwzględnić? Czy napisać, że dla deltoidów twierdzenie nie jest spełnione? Czy po prostu robię gdzieś błąd?

[Jacek_Karwatka]

błędy się zdarzają
coraz częściej niestety.
Np w nowym wydaniu Krysickiego dodano odpowiedzi do zadań które wcześniej nie miały odpowiedzi.
Niestety nie wszystkie odpowiedzi są poprawne.

Tutaj pewnie pierwsze równane powinno być
\(\displaystyle{ \frac{AB+CB}{CD+AD}=1}\)
różnica subtelna ale istotna jak między krzesłem a krzesłem elektrycznym.

[aniu_ta]

Fakt, wtedy by się zgadzało. W ogóle ten zbiór (Pawłowski, operon, linia ponadstandardowa) ma wiele ciekawych zadań i dlatego na nim pracujemy, ale błędy zdarzają się chyba w każdym temacie, kompletnie niedopracowany Dzięki.