Dwa trójkąty podobne: jeden opisany, drugi wpisany

[Olke]

Witam,
potrzebuję pomocy z takim zadaniem:
W trójkąt prostokątny wpisano okrąg, a w okrąg ten wpisano podobny trójkąt prostokątny. Wyznaczyć cosinusy kątów ostrych trójkąta, jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ \frac{P _{1} }{P _{2} } = 9}\)
Bardzo dziękuję.

[kamil13151]

Trójkąt pierwszy (większy) to boki o długości \(\displaystyle{ a,b, \sqrt{a^2+b^2}}\), a drugi (mniejszy) \(\displaystyle{ \frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{3}}\) (wynika to ze skali podobieństwa). Będziemy szukać \(\displaystyle{ \tg \alpha= \frac{a}{b}}\), bo dalej już prosto wyznaczyć kosinusy. Z warunków zadania wynika równość: \(\displaystyle{ \frac{a+b- \sqrt{a^2+b^2} }{2}= \frac{ \sqrt{a^2+b^2} }{6}}\) (lewa strona to promień okręgu wpisanego w większy trójkąt, a prawa strona to promień okręgu opisanego na mniejszym trójkącie). Dalej dokonujemy redukcji: \(\displaystyle{ 3(a+b)=4 \sqrt{a^2+b^2}}\) i podnosimy do kwadratu, znów redukujemy co się da: \(\displaystyle{ 7a^2+7b^2-18ab=0}\). Jako, iż rozwiązujemy te równanie w liczbach dodatnich możemy podzielić to przez \(\displaystyle{ b^2}\) i dostajemy: \(\displaystyle{ 7\left( \frac{a}{b} \right)^2-18 \frac{a}{b}+7=0}\). Proponuję zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t= \frac{a}{b}}\) i mamy do rozwiązania równanie kwadratowe: \(\displaystyle{ 7t^2-18t+7=0}\), wystarczy wyznaczyć jedno rozwiązanie, następnie przemienić tangens na kosinus (jedynka trygonometryczna), a potem użyć wzoru redukcyjnego by odnaleźć drugi, mniej roboty. Jakby co to pytaj .