Witam,
mam problem z zadaniem następującej treści:
na bokach dowolnego trójkąta ABC dane są odpowiednio punkty M, N, P takie, że:
\(\displaystyle{ \frac{|AM|}{|MB|} = \frac{|BN|}{|NC|} = \frac{|PC|}{|PA|} = k}\)
Wyznacz k, jeżeli pole trójkąta MNP = 0,28 pola trójkąta ABC.
Prosiłabym o pomoc.
Trójkąt z wierzchołkami na innym trójkącie
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Trójkąt z wierzchołkami na innym trójkącie
Jakie jest stosunek pól: \(\displaystyle{ \frac{[PCN]}{[PCB]}}\)?
Poprowadź wysokości \(\displaystyle{ h_1}\) i \(\displaystyle{ h_2}\) w tych trójkątach opuszczone z wierzchołków \(\displaystyle{ N}\) i \(\displaystyle{ B}\) znajdź trókąty podobne. Wtedy \(\displaystyle{ [PCN]=\frac{1}{2} \cdot |PC| \cdot h_1}\) itd. Wyznacz najpierw ten stosunek.
Poprowadź wysokości \(\displaystyle{ h_1}\) i \(\displaystyle{ h_2}\) w tych trójkątach opuszczone z wierzchołków \(\displaystyle{ N}\) i \(\displaystyle{ B}\) znajdź trókąty podobne. Wtedy \(\displaystyle{ [PCN]=\frac{1}{2} \cdot |PC| \cdot h_1}\) itd. Wyznacz najpierw ten stosunek.
-
pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Trójkąt z wierzchołkami na innym trójkącie
\(\displaystyle{ |AB|=|AM|+|MB|=k|MB|+|MB|=(k+1)|MB|\\
|BC|=|BN|+|NC|=|BN|+\frac{k}{|NC|}=\left(1+\frac{1}{k} \right) |BN|=\frac{k+1}{k}|BN|}\)
Nie \(\displaystyle{ S}\) oznacza pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), natomiast \(\displaystyle{ \beta}\) będzi kątem przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\) . Porównajmy to z polem trójkąta \(\displaystyle{ BNM}\).
\(\displaystyle{ \frac{S}{P_{\Delta BNM}}=\frac{0{,}5 |AB||BC|\sin\beta }{0{,}5 |MB||BN|\sin\beta}
=\frac{(k+1)|MB|(K+1)|BN|/k}{|MB||BN|}=\frac{(k+1)^2}{k}}\)
Tak może porównać pozostałe dwa trójkąty. Okażę się, że stosunek pól jest zawsze taki sam, a co za tym idzie, trójkąty \(\displaystyle{ MBN,NCP,PAM}\) będą miały równe pola.
Dalej więc równanie \(\displaystyle{ 3}\) pola trójkątów mają być równe \(\displaystyle{ 0,72}\) pola trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Wynik \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)
|BC|=|BN|+|NC|=|BN|+\frac{k}{|NC|}=\left(1+\frac{1}{k} \right) |BN|=\frac{k+1}{k}|BN|}\)
Nie \(\displaystyle{ S}\) oznacza pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), natomiast \(\displaystyle{ \beta}\) będzi kątem przy wierzchołku \(\displaystyle{ B}\) . Porównajmy to z polem trójkąta \(\displaystyle{ BNM}\).
\(\displaystyle{ \frac{S}{P_{\Delta BNM}}=\frac{0{,}5 |AB||BC|\sin\beta }{0{,}5 |MB||BN|\sin\beta}
=\frac{(k+1)|MB|(K+1)|BN|/k}{|MB||BN|}=\frac{(k+1)^2}{k}}\)
Tak może porównać pozostałe dwa trójkąty. Okażę się, że stosunek pól jest zawsze taki sam, a co za tym idzie, trójkąty \(\displaystyle{ MBN,NCP,PAM}\) będą miały równe pola.
Dalej więc równanie \(\displaystyle{ 3}\) pola trójkątów mają być równe \(\displaystyle{ 0,72}\) pola trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Wynik \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)