środki odcinków

[mol_ksiazkowy]

Na dwóch półprostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) o wspólnym początku \(\displaystyle{ O}\) wybierane są punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) takie, że:
\(\displaystyle{ |OA| =|OB| +1}\). Wykazać, że środki odcinków \(\displaystyle{ AB}\) spełniających ten warunek leżą na pewnej półprostej \(\displaystyle{ m}\).
Jakie jest położenie \(\displaystyle{ m}\) wzgledem \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) ?

[Ponewor]

jak na razie błąd w treści. mowa jest o środku tylko jednego odcinka. Żeby zadanie miało sens przydałyby się ze trzy środki.

[mol_ksiazkowy]

Żeby zadanie miało sens przydałyby się ze trzy środki.

hmmmm, Punkty \(\displaystyle{ A}\) przebiegają po prostej \(\displaystyle{ k}\), zaś \(\displaystyle{ B}\) po prostej \(\displaystyle{ l}\)

[Ponewor]

aaa że niby bierzemy takich par ile nam się podoba? To przepraszam, nie doczytałem.

Hint:

Ukryta treść:    

Idzie bardzo łatwo analitycznie

Rozwiązanie: (skrótowo)

Ukryta treść:    

prosta \(\displaystyle{ l}\) niech będzie osią \(\displaystyle{ OX}\) zaś prosta \(\displaystyle{ k: y=ax}\). Wtedy punkt \(\displaystyle{ O(0, \ 0) \quad A(p, \ ap) \quad B(q, \ 0)}\) Teraz już skrótowo. Liczymy długości odcinków i przyrównujemy zgodnie z treścią zadania. Dla uproszczenia obliczeń warto podstawić \(\displaystyle{ r=\sqrt{a^{2}+1}}\). Z tego wyznaczamy \(\displaystyle{ q}\). No i liczymy współrzędne środka \(\displaystyle{ C}\) odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Bierzemy dwa takie punkty \(\displaystyle{ C_{1}}\)i \(\displaystyle{ C_{2}}\) oczywiście dla nich odpowiednio \(\displaystyle{ p_{1}}\) i \(\displaystyle{ p_{2}}\). Liczymy równanie prostej przez te dwa punkty i okazuje się, że równanie to jest niezależne od paremetru \(\displaystyle{ p}\) (tylko od \(\displaystyle{ a}\)). Zatem wszystkie środki leżą na tej prostej. W związku z tym możemy wziąć odpowiednią półprostą. Na podstawie równania tej prostej można pewnie coś powiedzieć o jej położeniu względem \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\), ale nie wnikałem.

[tometomek91]

Nie wiem czy dobrze.. ;p

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ A_1,B_1}\) i \(\displaystyle{ A_2,B_2}\) będą parami takich punktów, przy czym punkt \(\displaystyle{ A_1}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ OA_2}\) i \(\displaystyle{ B_1}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ OB_2}\). Niech też \(\displaystyle{ M_1}\) i \(\displaystyle{ M_2}\) będą środkami odcinków \(\displaystyle{ A_1B_1}\) i \(\displaystyle{ A_2B_2}\) odpowiednio. Wtedy mamy równość pól \(\displaystyle{ [A_1A_2M_2]=[B_1B_2M_2]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ |A_1A_2|=|B_1B_2|}\), to wysokości w trójkątach \(\displaystyle{ A_1A_2M_2}\) i \(\displaystyle{ B_1B_2M_2}\) opuszczone z wierzchołka \(\displaystyle{ M_2}\) są tej samej długości. Oznacza to, że \(\displaystyle{ M_2}\) leży na prostej równoodległej od \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\).

[Ponewor]

Nie wiem czy dobrze.. ;p

Ukryta treść:    

Wtedy mamy równość pól \(\displaystyle{ [A_1A_2M_2]=[B_1B_2M_2]}\).

Nie łapię tej równości Widzę dwa równe boki i nic więcej...

[tometomek91]

Ta równość wynika z następujących:
\(\displaystyle{ [OA_1M_1]=[OB_1M_1]}\)
\(\displaystyle{ [OA_2M_2]=[OB_2M_2]}\)
i \(\displaystyle{ [A_1M_1M_2]=[B_1M_1M_2]}\).
Wszystko to to trójkąty o tej samej wysokości i równych podstawach.

Można jeszcze inaczej zrobić to zadanie: policzyć m.in. ze wzoru Stewarta i tw. cosinusów długość odcinka \(\displaystyle{ OM_1}\), \(\displaystyle{ OM_2}\) i \(\displaystyle{ M_1M_2}\) i zobaczyć, że pierwszy i ostatni sumują się do środkowego.

[norwimaj]

Idzie bardzo łatwo analitycznie

Potwierdzam, aczkolwiek robiłem nieco inaczej.

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ \overrightarrow k}\) i \(\displaystyle{ \overrightarrow l}\) oznaczają wektory jednostkowe wzdłuż półprostych. Wtedy środek odcinka \(\displaystyle{ AB}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{A+B}2=\frac{\left(O+(t+1)\overrightarrow k\right)+\left(O+t \overrightarrow l\right)}2=\left(O+\frac{\overrightarrow k}2\right)+t\frac{\overrightarrow k+\overrightarrow l}2}\), gdzie \(\displaystyle{ t}\) oznacza długość odcinka \(\displaystyle{ OB}\).

Zatem środki leżą na półprostej o początku w punkcie \(\displaystyle{ O+\frac{\overrightarrow k}2}\) (czyli na ramieniu \(\displaystyle{ k}\) w odległości \(\displaystyle{ \frac12}\) od \(\displaystyle{ O}\)) i skierowanej wzdłuż wektora \(\displaystyle{ \frac{\overrightarrow k+ \overrightarrow l}2}\) (czyli równoległej do dwusiecznej kąta o ramionach \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\)).