kilka zadanek ze zbioru Musztariego

[Elek112]

1. Przez punkt \(\displaystyle{ P}\), leżący na wspólnej cięciwie \(\displaystyle{ AB}\) dwóch przecinających okręgów przeprowadzono cięciwę \(\displaystyle{ KM}\) pierwszego okręgu i cięciwę \(\displaystyle{ NT}\) drugiego. Wykaż, że \(\displaystyle{ KNMT}\) jest czworokątem wpisanym w pewien okrąg.

2. Punkty \(\displaystyle{ ABCD}\) leżą na pewnym okręgu we wskazanym porządku. Srodki łuków \(\displaystyle{ AB}\)
\(\displaystyle{ BC}\) \(\displaystyle{ CD}\) \(\displaystyle{ DA}\) oznaczamy odpowiednio \(\displaystyle{ A_{1}}\) \(\displaystyle{ B_{1}}\) \(\displaystyle{ C_{1}}\) \(\displaystyle{ D_{1}}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ A_{1}C_{1}}\) \(\displaystyle{ B_{1}D_{1}}\) są prostopadłe.

3. Dwa okręgi o środkach \(\displaystyle{ O_{1}}\) i \(\displaystyle{ O_{2}}\), przecinają się w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Proste \(\displaystyle{ O_{1}A}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ O_{2}}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Udowodnij, że punkty \(\displaystyle{ O_{1}}\) \(\displaystyle{ O_{2}}\) \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) leżą na pewnym okręgu.

[Glo]

3. Jest całkiem proste. Zauważ, że kąt ACB jest dwa razy mniejszy od AO2B. Oznacz je jako \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Podobnie kąty ABC i AO2C, inne oznaczenie. Potrzebne jeszcze jest zauważenie równoramienności BO2C i BO1A. Dalej już tylko analiza kątów.

[Elek112]

Masz racje, głupie przeoczenie. Dzięki. Proszę o pomoc w pozostałych.

[timon92]

1:    

potęga punktu

2:    

przelicz kąty

[Elek112]

1. Nie znam potęgi punktu

2. To nawet nie jest podpowiedź

[Ponewor]

1. google. ew. wyszukiwarka forumowa
2. to jest podpowiedź. Bo teraz możesz oznaczyć sobie jeden czy dwa kąty i żmudnie długo liczyć, bo wiesz, że to da ci rezultat. Wiesz, że to ma jakiś sens. Najpierw spróbuj.

[timon92]

1. Nie znam potęgi punktu

da się bez potęgi punktu zauważając podobieństwa pewnych trójkątów, ale to rozumowanie jest właściwie dowodem pewnych własności tejże potęgi

2. To nawet nie jest podpowiedź

trudno tu dać inną wskazówkę niebędącą jednocześnie prawie całym rozwiązaniem

Ukryta treść:    

oznacz kąty oparte na cięciwach \(\displaystyle{ AB, BC, CD, DA}\) przez \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma, \delta}\) oraz przecięcie \(\displaystyle{ A_1C_1}\) z \(\displaystyle{ B_1D_1}\) przez \(\displaystyle{ X}\), wtedy \(\displaystyle{ \angle A_1XB_1 = \angle A_1C_1B_1 + \angle C_1B_1D_1 = \frac \alpha 2 + \frac \beta 2 + \frac \gamma 2 + \frac \delta 2 = \frac \pi 2}\)

pozdro