Podziały odcinka

[neron0308]

Punkt \(\displaystyle{ P _{1}}\) dzieli odcinek \(\displaystyle{ AB}\) o długości \(\displaystyle{ l}\) na dwie równe części; punkt \(\displaystyle{ P _{2}}\) dzieli odcinek \(\displaystyle{ AP _{1}}\) na połowy; punkt \(\displaystyle{ P _{3}}\) dzieli odcinek \(\displaystyle{ P _{2}P _{1}}\) na połowy; punkt \(\displaystyle{ P _{4}}\) w ten sam sposób dzieli odcinek \(\displaystyle{ P _{2}P _{3}}\), itd. Określić graniczne położenie punktu \(\displaystyle{ P _{n}}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\).

[szw1710]

Nie ma żadnego znaczenia geometria. Ja problem widzę w rekurencji. Sformułuję problem na \(\displaystyle{ [0,1].}\) Więc mamy \(\displaystyle{ P_1=\frac{1}{2},}\) \(\displaystyle{ P_2=\frac{1}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ P_{n+2}=\frac{P_n+P_{n+1}}{2}.}\)

To prosta rekurencja liniowa. Łatwo ją rozwiązać wyznaczając jawną postać ciągu \(\displaystyle{ (P_n),}\) a następnie granicę.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}P_n=\frac{1}{3}}\)

Ta rekurencja ma znaczenie i wtedy, gdyby ktoś rzeczywiście chciał mieć dowolne punkty płaszczyzny. Też wtedy do niej dojdziemy, jak mi się wydaje.

Ukryta treść:    

Tutaj \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}P_n=\frac{2}{3}A+\frac{1}{3}B}\)

[neron0308]

A jak wyznaczyć tą jawną postać ciągu \(\displaystyle{ P _{n}}\)?

[szw1710]

Przeszukaj Forum. Te metoda była tu pokazywana. Przez równanie charakterystyczne. Sam kiedyś tego rodzaju zadanie tu zrobiłem. Kiedyś może oznaczać dawno. Ale przeszukując moje posty, powinieneś znaleźć.

[bb314]

Odległość \(\displaystyle{ d_n}\) punktu \(\displaystyle{ P_n}\) od punktu \(\displaystyle{ A}\)

\(\displaystyle{ d_1=\frac12\\d_2=d_1-\frac14\\d_3=d_2+\frac18\\\ldots}\)

a więc \(\displaystyle{ d_n}\) jest sumą ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ =\frac12}\) i ilorazie \(\displaystyle{ \frac{-1}{2}}\), czyli

\(\displaystyle{ d_n=\frac12\cdot\frac{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}\ \ \ \stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\ \ \frac12\cdot\frac{1-0}{1+\frac12}=\frac12\cdot\frac1{\frac32}=\frac1{\cancel{2}}\cdot\frac23=\color{red}\frac13}\)

[szw1710]

To podejście jest elementarne - wymaga tylko znajomości ciągu geometrycznego. Cenię je bardziej niż moje, rutynowe, rozwiązanie. Brawo.