W trójkącie ABC punkty E i F są spodkami wysokości opuszczonych z wierzchołków odpo-
wiednio B i C. Pokazać, że styczne do okręgu opisanego na trójkącie AEF w punktach E i F przecinają się w
punkcie leżącym na odcinku BC.
Tym punktem jest środek \(\displaystyle{ M}\) odcinka \(\displaystyle{ BC}\). Niech \(\displaystyle{ H}\) będzie ortocentrum wyjściowego trójkąta, zaś \(\displaystyle{ K}\) środkiem \(\displaystyle{ AH}\). Okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ AEF}\) pokrywa się oczywiście z okręgiem opisanym na czworokącie \(\displaystyle{ EAFH}\), przy czym środkiem tego okręgu jest \(\displaystyle{ K}\). Popatrzmy na okrąg dziewięciu punktów trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Nasza teza jest równoważna z pokazaniem, że \(\displaystyle{ KM}\) jest średnicą okręgu dziewięciu punktów (gdyż z tego faktu widać styczność). A tak oczywiście jest, bo kąt \(\displaystyle{ KH'M}\) jest prosty, gdzie \(\displaystyle{ H'}\) to spodek wysokości wyjściowego trójkąta z A.
