wspóliniowość punktów
-
- Użytkownik
- Posty: 165
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 09:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 28 razy
wspóliniowość punktów
Punkt \(\displaystyle{ E}\) leży na boku \(\displaystyle{ BC}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi odpowiednio punk- tów \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ B}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ DE}\). Dowieść, że punkt \(\displaystyle{ A}\) \(\displaystyle{ P}\) \(\displaystyle{ Q}\) leżą na jednej prostej
- Funktor
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 63 razy
wspóliniowość punktów
Mój pomysł jest kompletnie siłowy i nieelegancki, ale można to zrobić tak : wstawić jednostkowy kwadrat w układ współrzędnych wierzchołkiem \(\displaystyle{ A}\) w początek układu , sparametryzować położenie punktu \(\displaystyle{ E}\) na boku \(\displaystyle{ BC}\), napisać równania odpowiednich prostych a następnie pokazać że niezależnie od położenia punktu \(\displaystyle{ E}\) 3 rozważane punkty spełniają równanie prostej np tej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\)
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
wspóliniowość punktów
To ja może pokażę syntetyczne rozwiązanie.
Widzimy, że na \(\displaystyle{ PECD}\) oraz na \(\displaystyle{ PBQE}\) da się opisać okrąg, tak więc:
\(\displaystyle{ \angle PQB = \angle PEB = 180^{\circ}-\angle CEP = \angle BDC = 45^{\circ}}\)
Podobnie na \(\displaystyle{ ABQD}\) da się opisać okrąg, więc \(\displaystyle{ \angle AQB = \angle ADB = 45^{\circ}}\)
Czyli \(\displaystyle{ \angle PQB = \angle AQB}\) co dowodzi, że \(\displaystyle{ A,P,Q}\) są współliniowe.
Widzimy, że na \(\displaystyle{ PECD}\) oraz na \(\displaystyle{ PBQE}\) da się opisać okrąg, tak więc:
\(\displaystyle{ \angle PQB = \angle PEB = 180^{\circ}-\angle CEP = \angle BDC = 45^{\circ}}\)
Podobnie na \(\displaystyle{ ABQD}\) da się opisać okrąg, więc \(\displaystyle{ \angle AQB = \angle ADB = 45^{\circ}}\)
Czyli \(\displaystyle{ \angle PQB = \angle AQB}\) co dowodzi, że \(\displaystyle{ A,P,Q}\) są współliniowe.
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
wspóliniowość punktów
Odkopię.
3 argumenty na współpękowość prostych \(\displaystyle{ CD, \ PE, \ QB}\):
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Oczywiście \(\displaystyle{ PEQB}\) jest cykliczny. Niech \(\displaystyle{ O}\) to środek okręgu opisanego na \(\displaystyle{ PEQB}\) i \(\displaystyle{ O \in EB}\), niech \(\displaystyle{ PE \cap QB = X}\), \(\displaystyle{ PE \cap AB = Y}\) i \(\displaystyle{ EB \cap PQ = Z}\). \(\displaystyle{ DX}\) jest biegunową \(\displaystyle{ Z}\) więc \(\displaystyle{ DX \perp OZ = EB = BC}\). Skąd \(\displaystyle{ X \in CD}\).
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Oznaczenia jak poprzednio. Zauważmy, że \(\displaystyle{ XP}\) i \(\displaystyle{ DQ}\) są wysokościami w \(\displaystyle{ \triangle DBX}\). Stąd \(\displaystyle{ E}\) jest ortocentrum w tym trójkącie i \(\displaystyle{ DX \perp BE = BC}\). Stąd \(\displaystyle{ X \in CD}\).
\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) \(\displaystyle{ A, \ B, \ Q, \ C, \ D}\) są współokręgowe, tak jak \(\displaystyle{ P, \ B, \ Q, \ E}\) i \(\displaystyle{ P, \ E, \ C, \ D}\). Osie potęgowe \(\displaystyle{ CD, \ PE, \ QB}\) tną się w środku potęgowym \(\displaystyle{ X}\).
Reszta dowodu:
Oczywiście \(\displaystyle{ \left| EP\right| = \left| EX\right|}\), czyli \(\displaystyle{ Y}\) jest odbiciem ortocentrum w trójkącie \(\displaystyle{ BXD}\) względem boku \(\displaystyle{ BD}\), a zatem \(\displaystyle{ D}\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ XYB}\). \(\displaystyle{ APQ}\) to prosta Simsona w tym trójkącie dla punktu \(\displaystyle{ D}\).
Ojej ta współpękowość chyba w ogóle nie była potrzebna. Ale to ogólnie bardzo fajna konfiguracja jest.
3 argumenty na współpękowość prostych \(\displaystyle{ CD, \ PE, \ QB}\):
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Oczywiście \(\displaystyle{ PEQB}\) jest cykliczny. Niech \(\displaystyle{ O}\) to środek okręgu opisanego na \(\displaystyle{ PEQB}\) i \(\displaystyle{ O \in EB}\), niech \(\displaystyle{ PE \cap QB = X}\), \(\displaystyle{ PE \cap AB = Y}\) i \(\displaystyle{ EB \cap PQ = Z}\). \(\displaystyle{ DX}\) jest biegunową \(\displaystyle{ Z}\) więc \(\displaystyle{ DX \perp OZ = EB = BC}\). Skąd \(\displaystyle{ X \in CD}\).
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Oznaczenia jak poprzednio. Zauważmy, że \(\displaystyle{ XP}\) i \(\displaystyle{ DQ}\) są wysokościami w \(\displaystyle{ \triangle DBX}\). Stąd \(\displaystyle{ E}\) jest ortocentrum w tym trójkącie i \(\displaystyle{ DX \perp BE = BC}\). Stąd \(\displaystyle{ X \in CD}\).
\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) \(\displaystyle{ A, \ B, \ Q, \ C, \ D}\) są współokręgowe, tak jak \(\displaystyle{ P, \ B, \ Q, \ E}\) i \(\displaystyle{ P, \ E, \ C, \ D}\). Osie potęgowe \(\displaystyle{ CD, \ PE, \ QB}\) tną się w środku potęgowym \(\displaystyle{ X}\).
Reszta dowodu:
Oczywiście \(\displaystyle{ \left| EP\right| = \left| EX\right|}\), czyli \(\displaystyle{ Y}\) jest odbiciem ortocentrum w trójkącie \(\displaystyle{ BXD}\) względem boku \(\displaystyle{ BD}\), a zatem \(\displaystyle{ D}\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ XYB}\). \(\displaystyle{ APQ}\) to prosta Simsona w tym trójkącie dla punktu \(\displaystyle{ D}\).
Ojej ta współpękowość chyba w ogóle nie była potrzebna. Ale to ogólnie bardzo fajna konfiguracja jest.