wspóliniowość punktów

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Elek112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 09:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 28 razy

wspóliniowość punktów

Post autor: Elek112 »

Punkt \(\displaystyle{ E}\) leży na boku \(\displaystyle{ BC}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi odpowiednio punk- tów \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ B}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ DE}\). Dowieść, że punkt \(\displaystyle{ A}\) \(\displaystyle{ P}\) \(\displaystyle{ Q}\) leżą na jednej prostej
Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

wspóliniowość punktów

Post autor: Funktor »

Mój pomysł jest kompletnie siłowy i nieelegancki, ale można to zrobić tak : wstawić jednostkowy kwadrat w układ współrzędnych wierzchołkiem \(\displaystyle{ A}\) w początek układu , sparametryzować położenie punktu \(\displaystyle{ E}\) na boku \(\displaystyle{ BC}\), napisać równania odpowiednich prostych a następnie pokazać że niezależnie od położenia punktu \(\displaystyle{ E}\) 3 rozważane punkty spełniają równanie prostej np tej przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\)
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

wspóliniowość punktów

Post autor: Vax »

To ja może pokażę syntetyczne rozwiązanie.
AU
AU
2enlwsw.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 67 razy
Widzimy, że na \(\displaystyle{ PECD}\) oraz na \(\displaystyle{ PBQE}\) da się opisać okrąg, tak więc:

\(\displaystyle{ \angle PQB = \angle PEB = 180^{\circ}-\angle CEP = \angle BDC = 45^{\circ}}\)

Podobnie na \(\displaystyle{ ABQD}\) da się opisać okrąg, więc \(\displaystyle{ \angle AQB = \angle ADB = 45^{\circ}}\)

Czyli \(\displaystyle{ \angle PQB = \angle AQB}\) co dowodzi, że \(\displaystyle{ A,P,Q}\) są współliniowe.
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

wspóliniowość punktów

Post autor: Ponewor »

Odkopię.
3 argumenty na współpękowość prostych \(\displaystyle{ CD, \ PE, \ QB}\):
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Oczywiście \(\displaystyle{ PEQB}\) jest cykliczny. Niech \(\displaystyle{ O}\) to środek okręgu opisanego na \(\displaystyle{ PEQB}\) i \(\displaystyle{ O \in EB}\), niech \(\displaystyle{ PE \cap QB = X}\), \(\displaystyle{ PE \cap AB = Y}\) i \(\displaystyle{ EB \cap PQ = Z}\). \(\displaystyle{ DX}\) jest biegunową \(\displaystyle{ Z}\) więc \(\displaystyle{ DX \perp OZ = EB = BC}\). Skąd \(\displaystyle{ X \in CD}\).
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Oznaczenia jak poprzednio. Zauważmy, że \(\displaystyle{ XP}\) i \(\displaystyle{ DQ}\) są wysokościami w \(\displaystyle{ \triangle DBX}\). Stąd \(\displaystyle{ E}\) jest ortocentrum w tym trójkącie i \(\displaystyle{ DX \perp BE = BC}\). Stąd \(\displaystyle{ X \in CD}\).
\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) \(\displaystyle{ A, \ B, \ Q, \ C, \ D}\) są współokręgowe, tak jak \(\displaystyle{ P, \ B, \ Q, \ E}\) i \(\displaystyle{ P, \ E, \ C, \ D}\). Osie potęgowe \(\displaystyle{ CD, \ PE, \ QB}\) tną się w środku potęgowym \(\displaystyle{ X}\).

Reszta dowodu:
Oczywiście \(\displaystyle{ \left| EP\right| = \left| EX\right|}\), czyli \(\displaystyle{ Y}\) jest odbiciem ortocentrum w trójkącie \(\displaystyle{ BXD}\) względem boku \(\displaystyle{ BD}\), a zatem \(\displaystyle{ D}\) leży na okręgu opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ XYB}\). \(\displaystyle{ APQ}\) to prosta Simsona w tym trójkącie dla punktu \(\displaystyle{ D}\).

Ojej ta współpękowość chyba w ogóle nie była potrzebna. Ale to ogólnie bardzo fajna konfiguracja jest.
ODPOWIEDZ