Przekątna trapezu równoramiennego.

[Union]

Przekątna trapezu równoramiennego tworzy z ramieniem kąt prosty. Wysokość trapezu poprowadzona z wierzchołkach kąta rozwartego dzieli podstawę na odcinki o długościach a i b (a>b).

AU

rysunek19217.png (4.58 KiB) Przejrzano 1877 razy

( w sumie to aż wstyd się pytać, ale.... ) \(\displaystyle{ h = \sqrt{ab}}\) ale skąd ? podobne są ABC i i trójkąt powstały CBP ( gdzie P to punkt wspólny AB i wysokości puszczonej z C ), ale nie widzę tu nic po za tym.
Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć ?


Z góry dzięki

[AloneAngel]

1. Wysokość poprowadzona z wierzchołka trójkąta prostokątnego jest średnią geometryczną odcinków, na jakie dzieli ona przeciwprostokątną.

2.
Oznaczmy sobie jako \(\displaystyle{ P}\) punkt przecięcia wysokości z przeciwprostokątną. Łatwo zauwazyć, że z cechy \(\displaystyle{ KKK}\) trójkąty \(\displaystyle{ APC}\) i \(\displaystyle{ PBC}\) są podobne. Zachodzi wówczas zależność:

\(\displaystyle{ \frac{h}{a} = \frac{b}{h}}\)

\(\displaystyle{ h^{2} = ab / \sqrt{}}\)

\(\displaystyle{ h = \sqrt{ab}}\)

[Union]

a nie podobieństwo Kąt, Kąt, Bok ?

[wujomaro]

Korzystamy z podobieństwa boków trójkątów.
\(\displaystyle{ \frac{h}{p}= \frac{q}{h}}\)
Z tego nam wychodzi, że \(\displaystyle{ h^{2}=pq \rightarrow h= \sqrt{pq}}\)
Pozdrawiam!

[AloneAngel]

Takiej cechy niestety nie ma. Owszem, jest ona jakże poprawna. Jednak jest już jakby ujęta w cesze(?) \(\displaystyle{ KKK}\). Skoro dwa kąty będą podobne - to trzeci też musi być. A w tym trójkącie powstałym w trapezie mamy podobne kąty \(\displaystyle{ \alpha , \beta, 90}\).

[Union]

wujomaro, Chyba nie te boki wziąłeś, powinny być ab.... już mi się w ogóle pomieszało

[Sherlock]

a nie podobieństwo Kąt, Kąt, Bok ?

to cecha przystawania trójkątów, nie podobieństwa
Znając dwa kąty, znamy trzeci - trójkąty na mocy cechy KKK są podobne.

[AloneAngel]

Ech... To wszystko wynika z podobieństwa trójkątów - poczytaj sobie o tym może w internecie. Bądź trzymaj się stwierdzenia, że wysokość poprowadzona z wierzchołka trójkąta prostego jest średnią geometryczną odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną.

[wujomaro]

wujomaro, Chyba nie te boki wziąłeś, powinny być ab.... już mi się w ogóle pomieszało

Ja zrobiłem swój rysunek, na którym jest tylko trójkąt prostokątny, aby nic się nie mieszało.
Pozdrawiam!

[Sherlock]

AloneAngel i wujomaro już w zasadzie wszystko wyjaśnili ale myślę, że kolejny rysunek nie zawadzi:

AU

12fbc32a77089c14.jpg (8.77 KiB) Przejrzano 1877 razy

kluczem jest zrozumienie skąd wiemy, że kąt ACP ma miarę alfa zaś kąt PCB ma miarę beta.
Zerknij na trójkąt prostokątny ABC, wiemy, że\(\displaystyle{ \alpha+\beta=90^0}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha=90^0-\beta}\) oraz \(\displaystyle{ \beta=90^0-\alpha}\). Teraz zerknij na kąty w trójkątach prostokątnych APC oraz CPB...

[Union]

już rozumiem, dziękuje bardzo, i przepraszam za zamieszanie z tym "zadaniem".

[Ponewor]

lub jeśli ktoś woli rachunki.

Oznaczmy przekątną jako \(\displaystyle{ d}\) i ramię jako \(\displaystyle{ c}\)

Mamy 3 Pitagorasy:

\(\displaystyle{ d^{2}=a^{2}+h^{2} \\ c^{2}=b^{2}+h^{2} \\ (a+b)^{2}=c^{2}+d^{2}}\)

Po podstawieniu:

\(\displaystyle{ (a+b)^{2}=b^{2}+h^{2}+a^{2}+h^{2}}\)

\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}+2h^{2}}\)

\(\displaystyle{ 2h^{2}=2ab}\)

\(\displaystyle{ h= \sqrt{ab}}\)

[PapaPapaj]

Dzięki!