pole trapezu prostokątnego opisanego na okręgu

[patryk6]

Na okręgu o promieniu r opisano trapez prostokątny. Długość najkrótszego boku wynosi \(\displaystyle{ \frac{5}{4}r}\). Oblicz pole trapezu.

\(\displaystyle{ \frac{5}{4}r}\) to podstawa górna, a podstawa przy kącie prostym jest równa \(\displaystyle{ 2r}\)
drugie ramie oznaczmy y, a część niewiadoma podstawy x

więc:

z trójkąta prostokątnego i tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ x ^{2} +2r ^{2}=y ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 2r+y=\frac{5}{4}r+\frac{5}{4}r+x}\)

teraz trzeba podstawić po \(\displaystyle{ y ^{2}}\), to co wyszło z drugiego równania, ale mi nie chce wyjść

[Sherlock]

\(\displaystyle{ 2r+y=\frac{5}{4}r+\frac{5}{4}r+x \\ y= \frac{1}{2} r+x}\)
podstaw do \(\displaystyle{ x ^{2} +(2r) ^{2}=y ^{2}}\), rozwiąż równanie...

[wujomaro]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2r+y= \frac{5r}{4}+ \frac{5r}{4}+x \\ x^{2}+(2r)^{2}=y^{2} \end{cases} \\ \begin{cases} \frac{8r+4y}{4}= \frac{10r+4x}{4} \\ y= \sqrt{x^{2}+4r^{2}} \end{cases}}\)
Podstawiasz \(\displaystyle{ y}\) i rozwiązujesz równanie z jedną niewiadomą. Potem wyliczasz \(\displaystyle{ y}\).
Pozdrawiam!

[patryk6]

a czemu:

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}r+x}\), jak to obliczyć?

[wujomaro]

\(\displaystyle{ 2r+y= \frac{10r+4x}{4} \rightarrow y= \frac{10r+4x}{4}-2r= \frac{10r-4x}{4}- \frac{8r}{4}= \frac{2r+4x}{4}= \frac{1}{2}r+x}\)