pole trapezu opisanego na okręgu o promieniu r

[patryk6]

Na okręgu o promieniu r opisano trapez o kątach ostrych przy większej podstawie, których miary są równe \(\displaystyle{ \alpha}\) i 2 \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz pole trapezu. Zastosuj wzór:
sin 2 \(\displaystyle{ \alpha}\)=2sin\(\displaystyle{ \alpha}\)cos\(\displaystyle{ \alpha}\).

[anna_]

\(\displaystyle{ a,b}\) - podstawy
\(\displaystyle{ c,d}\) - ramiona

\(\displaystyle{ \sin\alpha= \frac{2r}{d} \Rightarrow d= \frac{2r}{\sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \sin2\alpha= \frac{2r}{c} \Rightarrow c= \frac{2r}{\sin2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ a+b=c+d}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{(a+b)h}{2} = \frac{(c+d) \cdot 2r}{2}=(c+d)r}\)

[patryk6]

Koleżanko wyżej, dzieki bardzo, ale to i ja wiem, tylko chodzi o to jak obliczyć \(\displaystyle{ c+d}\), jeżeli są dwa inne mianowniki. Próbuje ja i starszy brat, który miał z matmy 6 i nie potrafimy.

[wujomaro]

Rysunek:

Z funkcji trygonometrycznych oblicz długości ramion i te odcinki w trójkątach prostokątnych o kątach \(\displaystyle{ \alpha \ i \ 2 \alpha}\). Następnie skorzystaj z własności czworokąta opisanego na okręgu:
Sumy dwóch przeciwległych boków są równe. Czyli suma długości podstaw jest równa sumie długości ramion. Potem pole ze wzoru: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}(a+b) \cdot h}\)
Pozdrawiam!

[anna_]

\(\displaystyle{ c+d=\frac{2r}{\sin\alpha}+ \frac{2r}{\sin2\alpha}=\frac{2r}{\sin\alpha}+ \frac{2r}{2\sin\alpha\cos\alpha}}\)

i do wspólnego mianownika-- dzisiaj, o 17:56 --

te odcinki w trójkątach prostokątnych o kątach \(\displaystyle{ \alpha \ i \ 2 \alpha}\)

długości tych odcinków są zbędne

[patryk6]

dzięki również, ale móglby ktoś mi pomóc jeszzce w tym dodatni c+d, czyli:

\(\displaystyle{ \frac{2r}{sin \alpha } + \frac{2r}{sin2 \alpha }}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ c+d=\frac{2r}{\sin\alpha}+ \frac{2r}{\sin2\alpha}=\frac{2r}{\sin\alpha}+ \frac{2r}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{2r}{\sin\alpha}+ \frac{r}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{2r \cdot \cos\alpha+r}{\sin\alpha\cos\alpha}=...}\)

[wujomaro]

\(\displaystyle{ \frac{2r}{sin \alpha } + \frac{2r}{sin2 \alpha }= \frac{2r}{\sin \alpha} + \frac{2r}{2 \sin \alpha \cos \alpha}= \frac{r}{\sin \alpha \cos \alpha}+ \frac{2r \cos \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}= \frac{r(2 \cos \alpha+1)}{\sin \alpha \cos \alpha}}\)