trzy jednakowe okręgi wzajemnie do siebie styczne

ghagha · Post autor: **ghagha** » 28 lut 2007, o 11:21

W okrąg o promieniu R wpisano trzy jednakowe okręgi wzajemnie do siebie styczne.. Znaleźć pole figury ograniczonej krótszymi łukami okręgów zawartymi między ich punktami styczności.

florek177 · Post autor: **florek177** » 28 lut 2007, o 12:01

Środki okręgów wpisanych tworzą trójkąt równoboczny. Z rysunku mamy:

\(\displaystyle{ R = r + \frac{2}{3} h \,\,}\) i \(\displaystyle{ \,\, h^{2} + (\frac{a}{2})^{2} = a^2 \,\,}\); gdzie a - bok trójkąta, h - wysokość trójkąta. Wyznacz, a, h i r.

Od pola trójkąta odejmij pola trzech wycinków koła zawartych w trójkącie.

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 28 lut 2007, o 12:05

Wskazówka:
niech r oznacza promień małego okręgu jeśli połączysz środki małych okręgów to otzrymasz trójkat równoboczny o boku 2r i wysokości h. Punkty styczności małych okręgów z dużym po połączeniu tworzą trójkąt równoboczny którego wysokością H=h+2r
W małym trójkącie zawiera się figura, o którą chodzi.

[ Dodano: 28 Luty 2007, 13:06 ]
Hehe za późno

ghagha · Post autor: **ghagha** » 28 lut 2007, o 12:42

florek177 pisze:\(\displaystyle{ R = r + \frac{2}{3} h}\)

Dlaczego??

florek177 · Post autor: **florek177** » 28 lut 2007, o 13:44

odległość od środka okręgu o promieniu R do wierzchołka trójkąta wynosi 2/3 h ( z własności trójkąta równobocznego )

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 28 lut 2007, o 13:45

bo środek tego koła jest dokładnie w środku tego trójkąta. a jak wiadomo w trójkącie równobocznym punkt przecięcia dwóch dwusiecznych dzieli wysokość trójkąta w stosunku 2:1