iloczyn skalarny, dlaczego tak postępujemy

[matinf]

Witam,
Znajdź miarę kąta pomiędzy wektorami a i b, jeśli wiadomo że \(\displaystyle{ |a|=|b|}\) oraz, że wektory
\(\displaystyle{ \vec{u}=2\vec{a}+\vec{b}}\)oraz \(\displaystyle{ \vec{v} = 5\vec{b}-4\vec{a}}\) są prostopadłe.
Więc prawdą jest że
\(\displaystyle{ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow (2\vec{a}+\vec{b}) \cdot (5\vec{b}-4\vec{a}) =(5|\vec{b}|-|4\vec{a}|) * (2|\vec{a}|+|\vec{b}|)* \cos(\alpha ) = 0}\)
Są prostopadłe, a zatem kąt alfa wynosi 90 stopni.
Jednak rozwiązując to zadanie powinienem przyrównać do zera
Dalej powinienem skorzystać z tego że |a|=|b|. I tak znaleźć resztę. Ale dlaczego mogę przyrównać to w taki sposób:
\(\displaystyle{ (5|\vec{b}|-|4\vec{a}|) * (2|\vec{a}|+|\vec{b}|)* \cos(\alpha ) = 0 //ok}\)
i stąd wziąć (?)
\(\displaystyle{ (5|\vec{b}|-|4\vec{a}|) * (2|\vec{a}|+|\vec{b}|)=0}\)
Przecież nie mogę twierdzić że jest to zerem, bo na jakiej podstawie, to sprawia tylko i wyłącznie(na pewno) cos90, dlaczego mogę tak zapisywać?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ (2\vec{a}+\vec{b}) \cdot (5\vec{b}-4\vec{a}) =(5|\vec{b}|-|4\vec{a}|) * (2|\vec{a}|+|\vec{b}|)* \cos(\alpha )}\)

Ta równość na ogół jest nieprawdziwa. Powinno być trochę inaczej. Zresztą to przekształcenie nie prowadzi w stronę rozwiązania zadania.