Trapez

[sztuczne zęby]

Pole trapezu jest równe S, a stosunek długości jego podstaw wynosi k. Przekątne dzielą trapez na 4 trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

[Vixy]

a-krótsza podstawa
b-dłuzsza podstawa



\(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\)=k
a=k*b


S=1/2(kb+b)*h
h=\(\displaystyle{ \frac{2S}{kb+b}}\)


te dwa trójkąty sa do siebie podobne


h1+h2=\(\displaystyle{ \frac{2S}{kb+b}}\)

Pole trojkata= 1/2kbh1


Pole trojkata 2=1/2 (\(\displaystyle{ \frac{2S}{kb+b}}\)-h)


cos za mało danych jest w tym zadaniu , czy w poleceniu nie powinno byc czasem ze jest to trapez równoramienny?

[sztuczne zęby]

Niestety nie ma. Dokładnie je przepisałem. Ale w odpowiedziach pola dwóch trójkątów są jednakowe.

[Vixy]

jednakowe pola sa te które maja podstawe równa długosci ramienia , czyli ten trapez musi byc równoramienny , tylko trzeba to jakos udowodnic

[sztuczne zęby]

Nie wiem czy bardzo się da, bo każdy trapez może mieć pole S i stosunek długości podstaw k.

[W_Zygmunt]

Zakładam, że mamy dane P- pole trapezu oraz a i b =k*a jego podstawy.
Łącząc środki podstaw dzielimy trapez na dwie części o równych polach.

Oczywiście również trójkąty ABT i CDT zostają podzielone na części
o równych polach. Stąd trójkąty BCT i ADT też mają równe pola.
Możemy zatem napisac:
\(\displaystyle{ P_{\bigtriangleup ADT} \,=\, P_{\bigtriangleup BCT} \,=\, \frac{1}{2} (P - P_{\bigtriangleup ABT} - P_{\bigtriangleup CDT})}\)

"w" to wysokość trapezu
\(\displaystyle{ w\,=\,h_{1} + h_{2}}\)
pole
\(\displaystyle{ P\,=\,(\frac{1}{2})\cdot (a + b)\cdot w}\)
stąd wysokość
\(\displaystyle{ w\,=\,\frac{ 2\cdot P }{ a + b }}\)
ponieważ trójkąty są podobne
\(\displaystyle{ h_{2}\,=\,h_{1}\cdot k}\)
podstawiając mamy
\(\displaystyle{ \frac{ 2\cdot P }{ a + b }\,=\,h_{1} + k\cdot h_{1}}\)
\(\displaystyle{ h_{1}\,=\,\frac{ 2\cdot P }{ (a + b)\cdot (k + 1) }}\)
pole trójkąta ABT
\(\displaystyle{ S_{\bigtriangleup ABT}\,=\,(\frac{1}{2})\cdot a\cdot h_{1}}\) \(\displaystyle{ S_{\bigtriangleup ABT}\,=\,\frac{ a\cdot h_{1} }{2}\,=\,\frac{ a\cdot P }{ (a + b)\cdot (k + 1) }\,=\,(\frac{P}{ k + 1 })\cdot (\frac{1}{ \frac{ a + b }{a} })\,=\,(\frac{P}{ {k + 1 }^2})}\)
ponieważ trójkąty są podobne stosunek ich pól jest równy kwadratowi stosunku podobieństwa
\(\displaystyle{ \frac{ S_{\bigtriangleup CDT} }{ S_{\bigtriangleup ABT} }\,=\,k^{2}}\)
zatem pola pozostałych trójkątów wynoszą
\(\displaystyle{ S_{\bigtriangleup CDT}\,=\,\frac{ k^{2}\cdot P }{(k + 1)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ S_{\bigtriangleup ADT}\,=\,S_{\bigtriangleup BCT}\,=\,\frac{1}{2}\cdot (P - \frac{P}{(k + 1)^{2}} - k^{2}\cdot \frac{P}{(k + 1)^{2}})\,=\,k\cdot \frac{P}{(k + 1)^{2}}}\)