Zabójczo ciekawe zadanie o równoległoboku i kwadratach
-
ghagha
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 29 sty 2007, o 11:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: G-dz
- Podziękował: 3 razy
Zabójczo ciekawe zadanie o równoległoboku i kwadratach
Na bokach równoległoboku zbudowano na zewnątrz kwadraty. Udowodnij, że środki tych kwadratów są wierzchołkami kwadratu.
-
martaa
- Użytkownik
- Posty: 136
- Rejestracja: 2 lut 2007, o 18:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 40 razy
Zabójczo ciekawe zadanie o równoległoboku i kwadratach
Niech nasz równoległobok ma wierzchołki kolejno w punktach A, B, C, D. Rozpatrzmy dobudowane kwadraty BCQP (jego przekątne przecinają się w punkcie X), CDSR (jego przekątne przecinają się w punkcie Y) i DAUT (przekątne przecinają się w punkcie Z).
Niech \(\displaystyle{ \angle DCB= }\), czyli:
\(\displaystyle{ \angle SCP = \angle SCD+\angle DCB+\angle BCP \\ = 45^o+\alpha +45^o \\ = 360^o-(180^o-\alpha +45^o +45^o) \\ = 360^o -(\angle ADC +\angle ADU+\angle CDR) \\ = \angle UDR}\)
(mowa oczywiście o wypukłym kącie UDR).
Oprócz tego \(\displaystyle{ UD = CP}\), bo kwadraty \(\displaystyle{ BCQP}\) i \(\displaystyle{ DAUT}\) są przystające oraz \(\displaystyle{ SC = DR}\), a zatem trójkąty \(\displaystyle{ UDR}\) i \(\displaystyle{ CPS}\) są przystające na mocy przystawalności bok-kąt-bok.
Niech K będzie punktem przecięcia UR i SP.
Zatem:
\(\displaystyle{ \angle KSY = \angle KRY}\)
czyli
\(\displaystyle{ \angle RKP =\angle SYD = 90^o}\)
co świadczy o tym, że UR i SP są prostopadłe (i równe z przystawalności trójkątów).
ZY to odcinek łączący środki boków trójkąta UDR, więc jest rónoległy do UR i równy jego połowie.
XY to odcinek łączący środki boków trójkąta SPC, więc jest rónoległy do SP i równy jego połowie.
Stąd wniosek, że XY i ZY są równe i prostopadłe. Podobnie wykazujemy równość i prostopadłość kolejnych boków czworokąta łączącego punkty przecięcia przekątnych kwadratów dobudowanych na bokach równoległoboku. A stąd już teza.
Niech \(\displaystyle{ \angle DCB= }\), czyli:
\(\displaystyle{ \angle SCP = \angle SCD+\angle DCB+\angle BCP \\ = 45^o+\alpha +45^o \\ = 360^o-(180^o-\alpha +45^o +45^o) \\ = 360^o -(\angle ADC +\angle ADU+\angle CDR) \\ = \angle UDR}\)
(mowa oczywiście o wypukłym kącie UDR).
Oprócz tego \(\displaystyle{ UD = CP}\), bo kwadraty \(\displaystyle{ BCQP}\) i \(\displaystyle{ DAUT}\) są przystające oraz \(\displaystyle{ SC = DR}\), a zatem trójkąty \(\displaystyle{ UDR}\) i \(\displaystyle{ CPS}\) są przystające na mocy przystawalności bok-kąt-bok.
Niech K będzie punktem przecięcia UR i SP.
Zatem:
\(\displaystyle{ \angle KSY = \angle KRY}\)
czyli
\(\displaystyle{ \angle RKP =\angle SYD = 90^o}\)
co świadczy o tym, że UR i SP są prostopadłe (i równe z przystawalności trójkątów).
ZY to odcinek łączący środki boków trójkąta UDR, więc jest rónoległy do UR i równy jego połowie.
XY to odcinek łączący środki boków trójkąta SPC, więc jest rónoległy do SP i równy jego połowie.
Stąd wniosek, że XY i ZY są równe i prostopadłe. Podobnie wykazujemy równość i prostopadłość kolejnych boków czworokąta łączącego punkty przecięcia przekątnych kwadratów dobudowanych na bokach równoległoboku. A stąd już teza.