Uzasadnić wzór na pole trójkąta równobocznego.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
norbert1112
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 20 gru 2010, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Uzasadnić wzór na pole trójkąta równobocznego.

Post autor: norbert1112 »

Uzasadnij że pole trójkąta równobocznego o boku długości a wyraża się wzorem \(\displaystyle{ P= \frac{ \sqrt{3} }{4} a^2{}}\).
Jak się to udowadnia?
Ostatnio zmieniony 10 cze 2012, o 16:53 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
szw1710

Uzasadnić wzór na pole trójkąta równobocznego.

Post autor: szw1710 »

Wylicz wysokość w oparciu o trygonometrię.
Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Uzasadnić wzór na pole trójkąta równobocznego.

Post autor: wujomaro »

Wszystkie boki trójkąta równobocznego mają równe boki( ). Oblicz wysokość tego trójkąta z funkcji trygonometrycznych, a następnie pole ze wzoru: \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ah}\)
Pozdrawiam!
Forte
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 111
Rejestracja: 30 maja 2012, o 18:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podlaskie
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 9 razy

Uzasadnić wzór na pole trójkąta równobocznego.

Post autor: Forte »

To zależy od którego wzoru wyjdziesz.
Jak np ze wzoru Herona
\(\displaystyle{ P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)

gdzie \(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}}\)

dla równych boków masz

\(\displaystyle{ p=\frac{a+a+a}{2}=\frac{3a}{2}}\)

\(\displaystyle{ P=\sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left( \frac{3a}{2}-a\right) \left( \frac{3a}{2}-a\right) }}\)

\(\displaystyle{ P=\sqrt{\frac{3a}{2}\cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}}}\)

\(\displaystyle{ P=\sqrt{\frac{3a^4}{16}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\)

To na poziomie szkoły sredniej

W gimnazjum wzór sie pojawia po twierdzeniu Pitagorasa

tam najpierw liczy się wysokość z połowy trójkąta

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2}a\right)^2+h^2=a^2}\)

z tego wyliczasz wysokość
\(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\)

i podstawiasz do wzoru \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}a\cdot h= \frac{1}{2}a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\)

Albo ze wzoru \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab\sin \alpha =\frac{1}{2}a\cdot a \sin 60=\frac{1}{2}a^2\frac{\sqrt {3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\)

i ten wzór można uzasadnij po wprowadzeniu funkcji trygonometrycznych
ODPOWIEDZ