Prostokąty podobne

[malyM9]

Przekątna AC prostokata ABCD jest bokiem podobnego do niego prostokata ACFE. Pole czesci wspolnej tych prostokatow stanowi 40% pola prostokata AEFC. Znajdz stosunek dlugosc bokow prostokata ABCD.
Rysunek

Proszę o pomoc, udało mi się tylko wyliczyć skale ; /

[silicium2002]

Proszę o pomoc, udało mi się tylko wyliczyć skale ; /

Hmm - no to właściwie zrobiłeś zadanie:

skala podobieństwa mówi nam właśnie w jakim stosunku pozostają do siebie nawzajem wymiary danych figur podobnych.

Tzn. jeśli skala to 2 to stosunek boków to też 2

PS Jeśli policzyłeś stosunek w jakim pozostają pola, to stosunek boków to pierwiastek z stosunku pól (dlaczego powinieneś sam wymyślić:)

[malyM9]

Problem polega na tym ze nie mam policzyc stosunku odpowiadajacych sobie bokow obu prostokatów, ale stosunek boków w prostokącie ABCD
(stosunek AB do CD)

[Sherlock]

Zauważ, że część wspólna to połowa prostokąta ABCD, zatem pole prostokąta ABCD stanowi \(\displaystyle{ 0,8}\) pola prostokąta ACFE czyli:
\(\displaystyle{ \frac{P_{ABCD}}{P_{ACFE}}= \frac{4}{5}}\)
Znając stosunek pól figur podobnych możesz wyliczyć stosunek odpowiadających boków:
\(\displaystyle{ \frac{a}{d} = \sqrt{ \frac{4}{5} }= \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{b}{d} = \sqrt{ \frac{4}{5} }= \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\) (przekątną d możemy potraktować jako dłuższy lub krótszy bok prostokąta ACFE)
Teraz z tw. Pitagorasa możesz wyliczyć (wyrazić za pomocą d) drugi bok w prostokącie ABCD i obliczyć szukany stosunek.

[silicium2002]

Problem polega na tym ze nie mam policzyc stosunku odpowiadajacych sobie bokow obu prostokatów, ale stosunek boków w prostokącie ABCD
(stosunek AB do CD)

Ah, mea culpa nie doczytałem.

Ale nic się nie dzieje - wiesz już w jakim stosunku są boki tych dwóch prostokątów zatem

Możesz zapisać AC jako b razy skala.

I teraz użyj twierdzenia pitagorasa dla trójkątu ABC.
Wtedy wyjdzie ci zależność między a i b

[Sherlock]

Przy okazji tego zadania zainteresowało mnie takie zagadnienie:
Jeżeli prostokąty ABCD i EFCA są podobne to zawsze \(\displaystyle{ e<c}\)?



Propozycja rozwiązania:

Ukryta treść:    

1. Skoro prostokąty ABCD i EFCA są podobne to:
\(\displaystyle{ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \\ c= \frac{ad}{b}}\)
2. Zauważmy, że trójkąty ABC oraz AGB są podobne, zatem:
\(\displaystyle{ \frac{d}{b} = \frac{a}{e} \\ e= \frac{ab}{d}}\)
3. Sprawdzamy czy \(\displaystyle{ e<c}\):
\(\displaystyle{ e<c \\ \frac{ab}{d} < \frac{ad}{b} \\ \frac{b}{d} < \frac{d}{b} \\ 0< \frac{d^2-b^2}{bd}}\)
z tw. Pitagorasa licznik możemy przedstawić jako:
\(\displaystyle{ 0< \frac{a^2}{bd}}\)
ponieważ długości są dodatnie nierówność jest prawdziwa - dowód zakończony

Mamy jeszcze drugą wersję zadania tzn. taką w której bok d odpowiada bokowi a zaś bok c odpowiada bokowi b. Wtedy rozwiązanie może wyglądać tak:

1. Prostokąty ABCD i AEFC są podobne więc:
\(\displaystyle{ \frac{a}{d} = \frac{b}{c} \\ c= \frac{bd}{a}}\)
2. Trójkąty ABC oraz AGB są podobne więc:
\(\displaystyle{ \frac{d}{b} = \frac{a}{e} \\ e= \frac{ab}{d}}\)
3. Sprawdzamy czy \(\displaystyle{ e<c}\):
\(\displaystyle{ e<c \\ \frac{ab}{d} < \frac{bd}{a} \\ \frac{a}{d} < \frac{d}{a} \\ 0< \frac{d^2-a^2}{ad}}\)
z tw. Pitagorasa licznik możemy przedstawić jako:
\(\displaystyle{ 0< \frac{b^2}{ad}}\)
przy dodatnich długościach nierówność prawdziwa.