Okrąg wpisany w trójkąt ABC

[Union]

Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Prosta przechodząca przez punkty A i W przecina okrąg opisany na trójkącie ABC punkcie D. Wykaż że trójkąt BDW jest równoramienny.

Chciałem Was prosić o sprawdzenie rozwiązania ( i ewentualne poprawki ) :

Jeżeli kąt \(\displaystyle{ ACB = 2\beta}\) to kąt \(\displaystyle{ AWB = 4\beta}\) i \(\displaystyle{ BWD = 180 - 4 \beta}\).
Kąt \(\displaystyle{ ADB}\) jest oparty na tym samym łuku co \(\displaystyle{ ACB}\) więc \(\displaystyle{ ADB = 2\beta}\).
Kąt \(\displaystyle{ DBW = 180 - (180 - 4\beta + 2\beta) \Rightarrow 2\beta}\). Boki \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ AB}\) pod takim samym kątem przecinają bok \(\displaystyle{ DB}\), z tego wynika że trójkąt \(\displaystyle{ BDW}\) jest równoramienny... ?



Z góry dzięki ;D

[Sherlock]

Założyłeś, że środek okręgu wpisanego pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego?
Popatrz na poniższą sytuację:

1. Oznaczmy kąt BDA jako \(\displaystyle{ \alpha}\).
2. Kąty ABW i WBE są równe (prosta BW to dwusieczna kąta ABC) - oznaczmy je jako \(\displaystyle{ \beta}\).
3. Kąty CAD i CBD są oparte na tym samym łuku - oznaczmy je jako \(\displaystyle{ \gamma}\).
4. Kąty CAD i DAB są równe (prosta AW to dwusieczna kąta BAC).
5. Popatrz na trójkąt ABD:\(\displaystyle{ \gamma + \beta+\beta+\gamma+\alpha=180^0}\)
6. Jaką miarę ma kąt \(\displaystyle{ \delta}\) (popatrz na trójkąt BDW)?

[Union]

można powiedzieć że to się samo "założyło" ;D dzięki