Wyznaczenie połowy powierzchni koła

[DziadekPreriowy]

Problem ten dręczy mnie od wielu lat i nigdzie nie znalazłem rozwiązania.

Gospodarz posiada łąkę w kształcie koła o znanym promieniu R. Posiada również krowę. Przyprowadził ją na tę łąkę i wbił pal od łańcucha na obwodzie koła. Jak długi powinien być łańcuch L aby krowa wyżarła trawę z połowy powierzchni łąki?

[luka52]

-> ... ction.html
Chyba analitycznie nie da się tego rozwiązać (ale nie gwarantuję, że mam rację). Numerycznie wychodzi coś koło \(\displaystyle{ L \approx 1,159 R}\).

[Paulina-Anna]

Już nie ważne. Za późno napisałam

[Majeskas]

To nie jest prawda. Przecież krowa nie porusza się po okręgu, tylko po soczewce - części wspólnej dwóch kół, których środki leżą od siebie w odległości mniejszej niż suma ich promieni i większej niż wartość bezwzględna różnicy ich promieni.

[luka52]

To nie jest prawda.

A co konkretnie?

Przecież krowa nie porusza się po okręgu, tylko po soczewce - części wspólnej dwóch kół, których środki leżą od siebie w odległości mniejszej niż suma ich promieni i większej niż wartość bezwzględna różnicy ich promieni.

No tak, z treści wynika, że środek jednego koła leży na brzegu drugiego.

[Majeskas]

Nieprawdą jest to, co napisała Paulina-Anna, a pomiarkowawszy się, wykasowała.

[DziadekPreriowy]

Strona wskazana przez luka52 ciekawa. Aczkolwiek jest tam rozważana nieco inna sytuacja - spróbuję pokombinować ale nie wiem czy uda mi się tak łatwo wyprowadzić analogiczna zależność, bo tam akurat sprytnie dobrane położenie układu współrzędnych wyeliminowało wyraz w 2 potędze.
Poza tym nawet uzyskanie podobnego wzoru na pole "soczewki" nie posuwa za mocno sprawy wobec faktu, że jak tam napisano całkę wyliczono numerycznie. A mój problem wymaga rozwiązania równości Pół pola=całka (w funkcji promienia) i z niej wyznaczenia promienia, dla którego to zachodzi. Nawet numerycznie to celowanie z kolejnymi przybliżeniami.
Niestety zupełnie nie czuję geometrycznych przekształceń typu kwadratura koła - choćby rozwinięcie Kochańskiego - ale intuicyjnie wydaje mi się, że ten problem powinien też mieć jakieś bardzo klasyczne rozwiązanie.