Oblicz długość promienia wpisanego w trójkąt ABC

[Union]

W trójkącie równoramiennym ostrokątnym ABC mamy dane: |AB| = |BC| = b oraz kąt ACB = \(\displaystyle{ \alpha}\). Z wierzchołka B przez środek S okręgu opisanego na tym trójkącie poprowadzono prostą, przecinającą bok AC w punkcie D.
a) Oblicz długość promienia wpisanego w trójkąt ABC.
b) Oblicz długość BD.

1. Moje rozwiązanie:
Wysokość opuszczoną z wierzchołka C liczę z \(\displaystyle{ \sin(\frac{ \alpha}{2} ) = \frac{h}{b} \Rightarrow h = b \cdot \sin( \frac{ \alpha}{2} )}\) następnie (pole) \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin\alpha \Rightarrow P = \frac{b^2 \cdot \sin\alpha}{2}}\)
Kolejno przyrównuje to do dwóch wzorów na Pole ( ten który zawiera podstawę i wysokość oraz drugi z sumą boków pomnożoną przez promień okręgu wpisanego ) z tego wychodzi mi:

\(\displaystyle{ r = \frac{b \cdot \sin\alpha}{2 + \frac{\sin\alpha}{\sin\frac{\alpha }{2}}}}\) niestety ... kiełbasie wychodzi :
\(\displaystyle{ r = \frac{b \cdot \sin\alpha}{1 + \sin\frac{\alpha}{2} }}}\)

To jak mam całość źle czy tylko ten wynik jest skrócony ??

2. Czy jeżeli założę że ta odległość punktu D od środka jest promieniem okręgu wpisanego to odległość |BD| uzyskam po dodaniu promienia okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie ?

[piasek101]

W trójkącie równoramiennym ostrokątnym ABC mamy dane: |AB| = |BC| = b oraz kąt ACB = \(\displaystyle{ \alpha}\). Z wierzchołka B przez środek S okręgu opisanego na tym trójkącie poprowadzono prostą, przecinającą bok AC w punkcie D.

Nie ma tu przypadkiem literówki ?

[edit] Jest - C leży między ramionami.

Wysokość z C idzie z cosinusa a nie sinusa jak Ty podajesz.

[edit1]

...
\(\displaystyle{ r = \frac{b \cdot \sin\alpha}{2 + \frac{\sin\alpha}{\sin\frac{\alpha }{2}}}}\) niestety ... kiełbasie wychodzi :
\(\displaystyle{ r = \frac{b \cdot \sin\alpha}{1 + \sin\frac{\alpha}{2} }}}\)

Wg mnie obie są złe.

[Union]

dzięki ale dalej to "samo":
\(\displaystyle{ r = \frac{b \cdot \sin\alpha}{2 + \frac{\sin\alpha}{\cos\frac{\alpha }{2}}}}\)

A mógłbyś pokazać swoje rozwiązanie ? bo ja już nie wiem w który wynik mam wierzyć ...

[piasek101]

Ten jest ok. Miałem nieco inną postać.