Zależność między podstawami, bokami i przekątnymi w trapezie

[Szab]

Mam takie oto zadanie:

Wykaż, że jeżeli liczby a i b są długościami podstaw trapezu równoramiennego, c - długością jego ramion, d - długością przekątnych, to
\(\displaystyle{ d^{2} = ab + c^{2}}\)

Próbowałem przyrównywać pola połowy trapezu i pola trójkąta (tej samej połowy trapezu) obliczone ze wzoru Cherona ale wychodzą mi jakieś zupełne bzdury. Można prosić o pomoc?

[silicium2002]

Rozważ trójkąt zbudowany z przekątnej, opuszczonej wysokości i podstawy przyciętej do punktu przecięcia z wysokością.

Trójkąt jest prostokątny, stąd z tw. Pitagorasa: \(\displaystyle{ d^{2}=h^{2}+(a- \frac{b}{2})^{2}}\)
ale \(\displaystyle{ h^{2}=c^{2}- (\frac{b}{2})^{2}}\)

Czyli: \(\displaystyle{ d^{2}=c^{2}- (\frac{b}{2})^{2}+(a- \frac{b}{2})^{2}=c^2+ab}\)

[timon92]

natychmiast z Ptolemeusza

[Josselyn]

\(\displaystyle{ x= \frac{b-a}{2}\\
h^2+x^2=c^2, h^2=c^2-x^2\\
h^2+(b-x)^2=d^2 \\
c^2-x^2+b^2-2bx+x^2=d^2\\
c^2+b^2-2bx=d^2\\
c^2+b^2-2b \cdot \frac{b-a}{2}=d^2\\
c^2+b^2-b^2+ab=d^2\\
c^2+ab=d^2}\)